ШКГ вчителів математики

Анкета для вчителів 

Анкета для учнів "Інтереси та дозвілля" 

Презентація Задачі з дробами

5 клас

Уроки для 5 класу

У колег

На узагальнення 6 кл

Закладки

6 циліндр 9 аксіоми стереом 9 конус 9 куля

Можливо тобі знадобиться?!

На допомогу учням НОВИЙ САЙТ ПРАКТИЧНОГО НАПРЯМКУ

Документація вчителя математики

Документація

Презентація

Математика це просто

математика це просто

Цікаві задачі

                                                                  Від Мудрої Сови 

       

 

Головоломки

                                                                                                         Загадки  

                         Загадки на логіку 2

Кросворди

Софізми і парадокси

Софізми

Завдання для учнів 5-7 класів

Завдання турніру юних  математиків

5–7 класів

1. Довести, що для всіх натуральних чисел виконується рівність: . 1*2+2*3+…п*(п+1) =п(п+1)(п+2)/3

 2. Довести, що для всіх натуральних чисел виконується рівність:1 ⋅1!+2⋅2!+ …+п⋅п! =( п+ 1)!-1

 3. Розв’язати рівняння, використовуючи різні методи:| х-2| +|х+5| =4

4. Розв’язати рівняння, використовуючи різні методи:| х+2| +3|1-х| -2|6х-3| =-1

5. Визначити розв’язок рівняння |х-3|-|2-х| =-0,4 що належить проміжку (2; 3).

 6. Два автомобілі рухаються назустріч один одному. Швидкість першого 80 км/год, а швидкість другого становить 5/6 швидкості першого. Через скільки годин автомобілі зустрінуться, якщо зараз між ними 432 км? Через який час відстань між автомобілями буде 4 км? Розгляньте всі можливі випадки. Розв’язування задачі зобразіть схемою

 7. Ціну товару спочатку знизили на 20 %, потім нову ціну знизили ще на

25 %, після чого ціна товару становила 120 тис. грн. Яка була ціна товару до її зниження? На скільки відсотків знизилась ціна товару?

8. Скількома способами можна розмістити 120 осіб за столом, біля якого поставлено 12 стільців?

 9. Скільки сигналів можна подати п’ятьма різними прапорцями, піднімаючи їх у будь-якій кількості та в довільному порядку?

 10. У чемпіонаті країни з футболу (вища ліга) беруть участь 18 команд, причому кожні дві команди зустрічаються між собою 2 рази. Скільки матчів грається на протязі сезону?

11. Зі 100 г молока можна одержати 15 г вершків, а зі 100 г вершків – 30 г масла. Скільки масла можна одержати з 2 кг молока?

 12. Три курки за три дні знесуть три яйця. Скільки яєць знесуть 6 курок за 6 днів? А 4 курки за 9 днів?

 13. У якій системі числення 2⋅2 = 10?

 14. Є 9 кг крупи і важки по 50 і 200 г. Як відважити в три кроки на шалькових терезах 2 кг крупи? 15. У кошику лежать яблука двох сортів. Навмання беруть з цього кошика декілька яблук. Яку найменшу кількість яблук треба взяти, щоб серед них виявилось хоча б два яблука одного сорту?

Розвиток творчих здібностей учнів. Робота з обдарованими дітьми

 вчитель математики

 Володимирівської ЗШ І-ІІІ ступенів

Петрівського району

Розвиток творчих здібностей учнів. Робота з обдарованими дітьми.

Не предмет формує особистість, а вчитель своєю діяльністю.

Корисні правила-поради. Математика є засобом вивчення багатьох дисциплін, а розвинене логічне мислення сприяє засвоєнню гуманітарних предметів. Пізнавальні інтереси мають низку переваг. Творчі здібності людини слід визнати найістотнішою складовою її інтелекту, а завдання їх розвитку — одним із найважливіших у педагогічній роботі. Обдарованість, здібності дитини проявляються і розвиваються протягом усього життя.

     Головним є не предмет, якому ви навчаєте, а особистість, яку ви формуєте. Не предмет формує особистість, а вчитель своєю діяльністю, пов'язаною з вивченням предмета.

      На виховання активності не шкодуйте ні часу, ні зусиль. Сьогоднішній активний учень — завтрашній активний член суспільства.

      Ставте учнів у ситуації, котрі вимагають виявлення та пояснення розбіжностей між фактами, що спостерігаються, та наявним знанням.

      Допомагайте учням оволодіти найбільш продуктивними методами навчально-пізнавальної діяльності, навчайте їх вчитися.

      Слід якомога частіше використовувати питання «чому?», щоб навчити мислити причинно-розуміння причинно-наслідкових зв'язків є обов'язковою умовою розвивального навчання.

      Пам'ятайте, що насправді знає не той, хто переказує, а той, хто застосовує на практиці.

     Привчайте учнів думати та діяти самостійно. Поступово відходьте від механічних переказів, дослівного відтворення.

      Творче мислення розвивайте всебічним аналізом проблем, пізнавальні задачі розв'язуйте кількома способами, частіше практикуйте творчі завдання.

Ці корисні правила-поради — тільки невеличка частинка, тільки вершина айсберга педагогічної мудрості, педагогічної майстерності, спільного педагогічного досвіду багатьох поколінь. Але згадати їх ще раз не буде зайвим.

Вивчення математики створює можливості для інтелектуального розвитку особистості, насамперед — розвитку логічного мислення, просторових уявлень і уяви, алгоритмічної культури, формування вміння встановлювати причинно-наслідкові зв'язки, обґрунтовувати твердження, моделювати ситуації та ін. Математика є засобом вивчення багатьох дисциплін, а розвинене логічне мислення сприяє засвоєнню гуманітарних предметів. Тому таким необхідним є вивчення математики та логіки в школі, і успіх цього процесу залежить від обраної учителем системи методів і прийомів активного навчання математики.

Ця система повинна охоплювати не лише роботу учня на уроці, але й сприяти розвиткові дитини в позаурочний час. Тому вчителеві необхідно подбати не тільки про організацію уроку, а й про те, як буде спланована домашня робота учнів, і докласти всіх зусиль до того, щоб забезпечити максимально продуктивну самостійну роботу учнів над навчальним матеріалом удома, навчити дитину раціонально розподіляти свій час, планувати роботу з виконання домашніх завдань.

Пізнавальні інтереси мають низку переваг, а саме: вони раніше й легше усвідомлюються дитиною; це конкретний і реальний імпульс для навчання; вони доступні для виявлення та спостереження; їх можна розвивати в будь-якому шкільному віці.

Навчання, підкріплене пізнавальними інтересами, має активний, дієвий характер. Активізуються розумові процеси учня, у нього з’являється прагнення до пошуку, до дослідження. Пізнавальні інтереси виявляються через певні емоції або емоційні стани: здивування відкриттям, очікування нового, піднесення у процесі учіння, інтелектуальна радість. Вольові прояви пізнавального інтересу пов’язані з ініціативою учня, самостійністю у здобутті знань, пошуком шляхів розв’язання навчальних завдань.

В. О. Сухомлинський порівнював думку дитини з ніжною трояндою, що не може квітнути без сонця. І бажання вчитися — в емоційному забарвленні думки, в почутті радісної схвильованості. Без цього емоційно-естетичного струменя не може повноцінно розвиватися думка дитини, йти від наочних образів до абстрактних узагальнень.  Інтелектуальне життя сповнюється радісними переживаннями, яскравими картинами. І думка, підкріплена образами оточуючих предметів, стає ясною. Запам’ятовування відбувається якнайінтенсивніше. Для розвитку мислення учнів, для збагачення власного досвіду, я використовую різні джерела, але найпродуктивнішим є формування власної думки, оцінювання різноманітні життєві явища, знаходження рішення в нестандартних ситуаціях, переконливе аргументування особистої позиції.

Предметом моєї уваги завжди є розвиток учнів, суть якого полягає у створенні оптимальних умов для формування особистості, здатної для самопізнання, саморозвитку та самовираження у майбутньому, засобом формування особистості нового типу.

Щоб розвинути творчі здібності учнів, слід поступово та систематично залучати їх до самостійної пізнавальної діяльності. Щоб забезпечити співпрацю між учнями і вчителем, уроку не достатньо. Тому традиційними в школі є тижні математики та математичні виховні заходи: складання творів, творчих робіт, історичних інформацій, казок до тем, вікторини. На таких заходах діти багато чого дізнаються з історії математики, життя вчених, виявляють свою настирливість, кмітливість, розвивають логічне мислення. Досить часто діти самі знаходять цікаві завдання і пропонують їх для заходів, випусків газет, складання кросвордів. Все це сприяє виробленню в учнів інтересу до предмета.

Розум — умова, необхідна для творчості, проте аж ніяк не достатня. Потрібна систематична цілеспрямована робота вчителя з виявлення та розвитку нахилів і здібностей учнів до творчості у процесі навчання. Недарма народна мудрість твердить, що покликання учителя прекрасне — дбати, щоб іскра знань не згасла.

Особливо актуальною на сучасному етапі розвитку суспільства і школи зокрема, є використання педагогіки співпраці, педагогіки творчості. Як зазначала вітчизняний педагог Софія Русова, основним у діяльності школи має стати девіз: «Допоможи мені це зробити самому». І завдання вчителя полягає в тому, щоб не тільки не «замулити» джерела здібностей, якими обдарувала дитину природа, а й розвинути ці здібності, створити всі умови для самореалізації, самовдосконалення, самоосвіти дитини, спрямовуючи її діяльність у правильне русло.

Інтенсивне прискорення науково-технічного прогресу, лавиноподібне наростання інформації про світ і необхідність оволодіти нею поставили перед педагогами і психологами ряд складних завдань. У всіх галузях народного господарства потрібні такі спеціалісти, які б не тільки досконало володіли своєю спеціальністю, але й уміли працювати творчо. Проблема творчих здібностей переросла у соціальну. Знання все швидше починають «старіти», «відмирають» одні професії і «народжуються» інші. Частка розумової праці постійно зростає. Отже, творчі здібності людини слід визнати найістотнішою складовою її інтелекту, а завдання їх розвитку — одним із найважливіших у педагогічній роботі.

У вирішенні цього питання зацікавлена не лише держава: вчителів і батьків також хвилює розвиток здібностей у дітей, у тому числі і творчих. Існує тісний і нерозривний взаємозв'язок задатки — обдарованість — здібності.

Методи формування виконавських і творчих здібностей принципово різні. Виконавські здібності — продукт навчання, тобто засвоєння раніше відкритого, запам'ятовування, повторення, тренування, що є головним продуктом традиційного навчання.

Багатьом відома така притча: 

Звернувся до монаха бідняк:

 - Дай мені риби! Я голодний.

Монах мовчки віддав йому вудку.

      Повчальний характер притчі зрозумілий:

 треба давати не стільки їжу, скільки засобів її добування,

а в нашому випадку потрібно навчити дитину вчитися.

У шкільні роки проявляють свої здібності 3 – 5% обдарованих дітей. Створювати умови для розвитку учні, які б активно заглиблювались у пошук, розв’язували поставлені проблеми, на основі порівняння й зіставлення обирали оптимальні варіанти. Така організація навчального процесу виробляє в учнів навички здобувати знання самостійно шляхом особистих міркувань, розвиває творчий потенціал дитини, її нахили та здібності, готує її до подальшого життя. Саме талановиті люди є рушійною силою розвитку будь-якого суспільства. Обдаровані люди створюють нові теорії й нові технології, рятують нас у кризових і катастрофічних ситуаціях.

Творчі здібності — продукт саморуху, самостійного розв'язування задач, самостійного розкриття закономірностей і зв'язків між предметами та явищами, продукт роботи мозку;  продукт розвитку, причому розвитку вільного, за якого цікавість, захоплення і пристрасть - головні рушійні сили.

На своїх уроках я якраз і звертаю увагу на розвиток творчих здібностей. Це самостійні роботи творчого характеру, пошук нових методів доведення теореми, оригінальне розв'язування складної задачі. Особливе місце займає дослідницький метод навчання (можна створити у класі дослідницькі групи, які звітуватимуть одна перед одною після вирішення заданої проблеми). У процесі дослідження учні можуть використовувати різні літературні джерела, виконують малюнки, схеми, аналізують результати, відповідають на запитання, одержуючи, за потребою, консультацію вчителя. У своїй діяльності використовую різні методи і методичні прийоми: репродуктивний (з послідовним ускладненням видів діяльності), пояснювально-ілюстративний, дослідницький. Адже, навчати — означає спонукати учнів творити відкриття.

Кожна здорова дитина має можливості для розвитку як виконавських, так і творчих здібностей до всіх видів діяльності. І багатство можливостей розумового розвитку приховано не лише в природі спадковості, а і в строках початку, методах і умовах розвитку дитини. Вона повинна відчувати інтерес до себе, до своєї роботи, до своїх здібностей та прагнень. Ця дитина має бачити перед собою нехай і дуже віддалену, але перспективу, розуміти, що буде кінцевим пунктом її шляху. Отже, здібна дитина — не дар природи. Успіх залежить від батьків і вчителів.

У школі, в основному, відбувається посилене формування виконавських здібностей дитини, що призводить не лише до зупинки, а й до згасання її творчих здібностей. Щоб цього не сталося, доцільно використовувати метод проблемного навчання, який створює сприятливі умови для розвитку творчих математичних здібностей. Адже, як відзначав Декарт, «… для того, щоб удосконалювати розум, треба більше розмірковувати, ніж заучувати».

Творчі здібності учнів проявляються в ситуації, коли треба знаходити в реальній дійсності нові проблеми, бачити їх нові сторони. Для цього задана діяльність повинна бути новою (хоча б на першому її етапі) і цікавою для всіх. Пропонований матеріал повинен містити (у прихованому вигляді) ряд цікавих проблем, які не слід відкрито формулювати. Наприклад, у добірці однотипних задач кожна окремо взята задача може не виступати як проблемна, але в сукупності з іншими задачами дає можливість знаходити нові прийоми розв'язування, ставить перед учнем завдання, в ході розв'язування яких він відкриває для себе окремі або загальні закономірності. Тому задачі слід добирати так, щоб учень міг творити, мислити, щоб він сам мав можливість досягти вершин інтелектуальної творчості. Будучи простою, задача має бути достатньо цікавою і викликати інтерес до неперервної, довготривалої діяльності. Адже, як відзначав психолог Л.Виготський, «... задачі, які ставляться перед учнями, мають випереджати вже досягнутий ними рівень на один крок». Тільки так серед дітей можна виявити обдарованих для поглибленої роботи з ними. Важливим є не стільки те, чи розв'яже учень задачу, скільки те, як він буде думати, розв'язуючи її.

Для того, щоб глибше розвивати творчі здібності учнів, після розв'язування задачі я пропоную учням змінити її умову і дати відповідь на запитання: «Що буде, коли...». Інколи я пропоную учням самостійно скласти задачі, які б найповніше виражали основне і найсуттєвіше в змісті пройденого матеріалу. Таке завдання дає змогу учневі визначити змістовні зв'язки між елементами пройденого матеріалу.

Додаток 1

Методи розв’язування логічних задач.

Різноманітність логічних задач сприяє розвитку способів їх розв’язування. Найбільш поширеними є три способи розв’язування логічних задач:

1)  з допомогою міркувань;

2)  табличний;

3)  засобами алгебри логіки.

Перший спосіб не може бути описаний формальною мовою, тому не отримав застосування в ОТ і в інформатиці. Зосередимось на засобах алгебри логіки.

Звичайно використовується наступна схема розв’язування :

•   вивчається умова задачі;

•   вводиться система позначень для логічних висловлень;

•   конструюється логічна формула, яка описує логічні зв’язки між всіма висловленнями умови задачі;

•   визначаються значення істинності цієї логічної формули;

•   з отриманих значень істинності формули визначаються значення істинності введених логічних висловлень, на основі яких робиться висновок про розв’язок.

Розглянемо задачу(№1):

«Олексій, Борис і Григорій знайшли в землі посудину. Кожен з них висловив по два припущення.

Олексій – Ця посудина грецька, V століття.

Борис – Ця посудина фінікійська, III століття.

Григорій – Це не грецька посудина, IV століття.

Вчитель історії сказав друзям, що кожен з них правий лише в одному з двох своїх припущень. Де і в якому столітті була виготовлена посудина?»

Розв’язування

1.  Позначимо прості висловлення буквами:

«Посудина грецька» – Г; «Посудина фінікійська» – Ф;

«Посудина V століття» – 5; «Посудина III століття» – 3;

«Посудина IV століття» – 4.

Додаток 2

Задачі творчого характеру

1.У селянина було кілька однакової ваги поросят та кілька однакової ваги ягнят. Хлопчик запитав селянина, скільки важить одне порося та одне ягня. Селянин відповів, що троє поросят та двоє ягнят важать 22 кг, а двоє поросят та двоє ягнят важать 23 кг. Як відповісти на запитання хлопчика?

2. Аркуш паперу у формі правильного шестикутника. Його вершини за часовою стрілкою перенумерували від 1 до 6. Згодом цей папір  зігнули так, що парні вершини збіглися з центром шестикутника. Яку фігуру отримали?

3. У трикутника усі сторони рівні. Трьома прямолінійними розрізами розділити його на три рівні трикутники.

4. Один учень писав про себе: «...Пальців у мене двадцять п'ять на одній руці, стільки ж на другій, на ногах десять...» Чому він такий потворний?

Відповідь Учень після слова «двадцять» не поставив дві крапки.

5. Скільки разів  від 100 можна відняти 10?

Відповідь  Один раз, бо потім залишиться 90 (100 − 10), і треба буде віднімати вже від 90, а не від 100.

6. А ви знаєте дроби? Зараз перевіримо.

Десять солдат шикувалося в ряд,

Десять солдат йшли на парад.

Дев’ять десятих було носатих,

А скільки ж було курносих солдат?

Розв’язуючи кожну з таких задач, вчитель організовує роботу таким чином, щоб учні критично мислили, знаходячи місце задачі в реальному житті, та значущість знань для їх розв’язування.

Задачі на об’єми фігур 

             Задача1  (для груп професії "Кухар")

Скільки повних порцій супу міститься в каструлі, яка має форму циліндра, висота якого 40 см, а діаметр 0,3 м. Відомо, що одна порція містить 0,25 л супу.

Задача 2.

Діаметр каструлі 44 см, а висота 32 см. Скільки літрів води вона вміщує?

Задача 3.

Скільки меду можна вмістити в посудину, що має циліндричну форму з діаметром основи 22 см і висотою 46 см, якщо густина меду 1350кг/м³

Задачі (для груп професій сільськогосподарського напрямку)

Задача 1.

Яка врожайність зернових з 1га при розмірах поля 2 3 км та врожайності 200гр. з 1 дм². Порівняйте отриманий результат із загально обласним показником врожайності пшениці за 2010 рік (40 ц з 1 га) і зробіть висновок про ефективність сільськогосподарських робіт на даному полі.

Задача 2

Скільки мішків аміачної селітри можна помістити в склад розмірами 20м х 9м х 4м, якщо мішок селітри можна прийняти (з певною похибкою) за прямокутний паралелепіпед розмірами 90смх 5смх25см? (На щілини між мішками і центральний прохід виділяється 30% об’єму складу).

Задачі практичного і професійного спрямування (для груп сільськогосподарського та автомобільного напрямку).

Задача 1

Бак, що має форму прямокутного паралелепіпеда, доверху заповнено бензином. Довжина бака 3м, ширина 1,5м, висота 1,2м (Розміри внутрішні). Густина бензину 710 кг/м куб. На скільки робочих днів вистачить цього бензину для заправки автомобіля ГАЗ – 53, якщо середні витрати бензину автомобіля за робочий день – 95 кг?

Задача 2

Потрібно підсипати гравій на ділянці сільської дороги довжиною 1 км та шириною 4 м, щоб рівень дороги піднявся на 25 см. По скільки рейсів з гравієм повинен здійснити кожен з п’яти самоскидів КаМАЗ – 5511, якщо кузов самоскида вміщує 7,5 м3 гравію ?

Задача 3, (для груп будівельного та сільськогосподарського напрямку).

Будівельна бригада споруджує з цегли перегородку на складі для зберігання мінеральних добрив. Довжина перегородки 18м, висота 4м, товщина 25см. Розчин збільшує об’єм перегородки на 15%. Скільки цегли потрібно для роботи, якщо розміри цеглини 25см на 12см на 6,5см (при умові, що цегла не б'ється)?

Задачі на відсоткові відношення

Медицина

Задача 1.

Курс повітряних ванн починається з 15 хвилин в перший день і збільшують час цієї процедури кожний наступний день на 10 хвилин. Скільки днів потрібно приймати ванни в вказаному режимі, щоб досягти максимальної тривалості 1 год. 45 хв.?

Задача 2.

Хворий приймає ліки за наступною схемою: в перший день він приймає 5 капель, а в кожні наступні – на 5 капель більше, ніж в попередній день. Прийняв 40 капель, він три дні приймає по 40 крапель ліків, а потім щоденно зменшує прийом на 5 крапель, доводячи його до 5 крапель. Скільки флаконів ліків потрібно купити хворому, якщо в кожному міститься 20мл ліків (що складає 250 крапель)?

Фізкультура

Задача 1.

В змаганнях по стрільбі за кожний промах в серії з 25 пострілів стрілок отримує штрафні очки: за перших промах – 1 штрафне очко, за кожний наступний на 0,5 очка більше, ніж за попередній. Скільки разів потрапив в ціль стрілок, що отримав 7 штрафних очків? 

Задача 2.

Скалолази в перший день підняття піднялися на висоту 1400 м, а потім кожний наступний день вони проходили на 100 м менше, ніж за попередній. За скільки днів вони покорили висоту в 5000 м?

Біологія

Задача 1.

Бактерія потрапивши в живий організм, до кінця 20 хвилини ділиться на дві бактерії, кожна з них до кінця наступних двадцяти хвилин ділиться знову на дві і т.д. Знайти число бактерій, що утворились з однієї бактерії до кінця суток.

Геометрія життя

Задача1.

З гарячого крану ванна заповнюється за 23 хвилини. Із холодного крану за 17 хвилин. Маша відкрила спочатку гарячий кран. Через скільки хвилин вона повинна відкрити холодний кран, щоб до моменту наповнення ванни гарячої води налилося в 1,5 разів більше, ніж холодної?

Задача 2

Який об’єм молока може вміститися в тетрапак у вигляді піраміди, основа якої рівносторонній трикутник зі стороною 20 см, висотою 24 см.

Задача3.

Єгипетські піраміди – найдавніше і разом  з цим єдине, що збереглося до наших днів, чудо світу. Піраміда Хеопса – сама велика піраміда. Вона була самою великою спорудою світу, поки в 1889 році не поступилась Ейфелевій башті . Зараз висота піраміди складає 137 м, основа 230х230м, вага 6400000 тонн. Вичислити об’єм піраміди.

Тому на уроках я намагаюся створити умови, для формування пізнавальних інтересів, які я поділила на дві групи:

1) пов'язані зі змістом навчального матеріалу новизною (нові факти, закономірності, способи пізнання тощо); зіткненням особистого досвіду учнів з системою наукових понять; виявленням історичного аспекту шкільних знань, включенням до матеріалу, що вивчається, фактів з історії та сучасного етапу науки;

2) пов'язані з організацією різних самостійних робіт, у ході яких учні ознайомлюються з новими способами розв'язування задач, включаються у нові види пізнавальної діяльності, зіштовхуються з різними тенденціями і точками зору; залученням учнів до дослідницької роботи, виконання творчих робіт (реферати, доповіді, кросворди).

Система продуманих масових заходів дає можливість учителю розвивати інтерес і творчі здібності школярів, залучаючи їх до різних видів інтелектуальної діяльності, що ґрунтуються на математичному матеріалі.

Обдарованість, здібності дитини проявляються і розвиваються протягом усього життя. Математичні задатки учнів можуть проявлятися і розвиватися як на уроках, так і в позаурочний час — під час випуску стінної преси, добору літератури. Основним завданням навчання і виховання є створення умов для розвитку творчих здібностей учнів.

Засвідчує високий рівень математичної підготовки школярів участь в олімпіадах. Звичайно, цьому процесу передує тривала підготовча робота, яка не відразу дає певні результати. Така форма роботи чи не найкраще сприяє зростанню творчої активності учнів, формуванню наполегливості в досягненні результату, виробленню навичок і вмінь самостійно працювати з додатковими джерелами знань і застосовувати отримані знання в нових умовах.

У своїй діяльності я використовую дидактичний матеріал, який диференціюю за рівнями складності і застосовую, враховуючи інтереси і нахили учнів.

Д.Пойа наголошував: «Відшукуйте у вашій задачі все, що може знадобитися під час розв'язування інших задач, — у даній конкретній ситуації намагайтеся виявити загальний метод».

Інколи розібратися в готовому «чужому» розв'язанні, поясненні зовсім не легше, ніж розв'язати задачу самому. Тому на уроках я практикую самостійну роботу з підручником.

Крім того, пропоную учням працювати з додатковою літературою, що дає їм змогу не лише розширити свій кругозір, ознайомитися з матеріалом, не передбаченим програмою, а й вникнути у нові проблеми і гіпотези математичної науки, поміркувати над методами їх розв'язування, зануритися у світ тих передбачень і загадок, що змушують мислити, міркувати і шукати.

На уроці намагаюся показати учням математику з найпривабливішого боку, викликати в дитини радість від занять розумовою працею, допомогти подолати труднощі й отримати перемогу над самим собою. Адже інтерес — «золотий ключик» до виховання здібностей.

«У школі повинно бути керівництво розумовою діяльністю учнів, керівництво процесом оволодіння, поглиблення, закріплення, застосування знань, керівництво розумовим розвитком», — писав В.Сухомлинський. Думаюча людина завжди сильна характером. Сформувати таку людину — мета, досягненню якої мають бути підпорядковані всі педагогічні зусилля. Урок математики сприяє формуванню в школярів умінь застосовувати знання на практиці, працювати з бажанням, самостійно порівнювати свої «сьогоднішні» успіхи з «учорашніми». Важливо, щоб кожен учень виконував посильну творчу роботу, в чому проявлятимуться елементи гуманізації та диференціації процесу навчання. Навчити учня досліджувати, відкривати математичні факти та доводити їх — важливе завдання учителя. Це сприятиме розвитку творчих здібностей і паростків таланту.

Якості, якими має володіти вчитель для роботи з обдарованими дітьми?

Учитель повинен:

1. Бути доброзичливим і чуйним.

2. Розбиратися в особливостях психології обдарованих дітей, від­чувати їхні потреби та інтереси.

3. Мати високий рівень інтелектуального розвитку.

4. Мати широке коло інтересів.

5. Бути готовим до виконання різноманітних обов'язків, пов'язаних із навчанням обдарованих дітей.

6. Мати педагогічну і спеціальну освіту. Володіти почуттям гумору.

7. Мати живий та активний характер.

8. Виявляти гнучкість, бути готовим до перегляду своїх поглядів і до постійного самовдосконалення.

10. Мати творчий, можливо, нетрадиційний особистий світогляд.

11. Бути цілеспрямованим і наполегливим.

12. Володіти емоційною стабільністю.

13. Уміти переконувати.

14. Мати схильність до самоаналізу.

Олімпіада (завдання)

Олімпіада

6 клас

1.     Поставте  замість зірочок цифри:

                                       59,27

                                    + **,45

                                       78,*3

                                     182,1*                

2.     До числа 15 припишіть ліворуч  і праворуч  по одній цифрі, щоб воно ділилося  на 15.

 3.     Знайдіть усі дроби із знаменником 15, які  більше  8/9 і менше 1.

 4.    У літній табір приїхали відпочивати три товариша: Мишко, Володя і Петро. відомо, що кожний з  має одне з  прізвищ : Іванов, Семенов, Герасимов. Мишко - не Герасимов, батько Володі - інженер. Володя вчиться у 6 класі. Герасимов вчиться у  5 класі.  Батько Іванова -вчитель. Яке прізвище у кожного з  друзів?

5. Для нумерації  сторінок книги знадобилося 1392 цифри. Скільки сторінок у книжці?

6.Розставити мiж деякими з цифр 1111111 знаки «+» «-» таким чином, щоб вийшов вираз з сумою 100.

 7. Знайти 6 різних прямокутників однакової площі, у кожного з яких сторони задаються цілим числом сантиметрів, при цьому не можна знайти сьомий прямокутник, який задовольняє цi умови, тобто вiдмiнний вiд 6 знайдених, має сторони, що задаються цілим числом сантиметрів i площу, однакову iз заданими.

8.  Магічним квадратом четвертого порядку називається квадрат 4×4, який заповнений рiзними числами, при цьому рівними є суми чисел у кожного рядку, стовпчику та великих дiагоналях. Олеся хоче скласти такий квадрат, розмiстивши у ньому числа 1, 2, . . . , 16. Вона почала з того, що помiстила число 1 у лiвий верхнiй кут, а числа 2 i 3 поруч з ним у сусiдньому рядку та стовпчику. Як iй треба далi розмiстити решту чисел, щоб одержати магiчний квадрат?

7 клас

1. Три дробi записани поруч: 5/32;11/32; 15/32 Чи можна перед першим дробом, мiж ними, та вкiнцi третього дробу розставити знаки чотирьох арифметичних дiй «+» «-» «·» «:» а також дужки таким чином, щоб значення одержаного виразу стало бiльшим, нiж 1?

2. Знайдiть 5 послiдовних трицифрових числа, перше з яких дiлиться на 2, друге – на  3, третє – на 4, четверте дiлиться на 5, i п’яте дiлиться на 6.

3. Вiдмiнники Леся та Андрiйко протягом семестру одержали з математики лише оцiнки ”12”, ”11” та ”10”. Разом усiх оцiнок на двох вони одержали 51, причому 4/9 вiд усiх Лесиних оцiнок склали оцiнки ”12”, а 3/8 усiх Андрiйкових оцiнок були оцiнки ”11”. Чому дорiвнює середнє арифметичне усiх оцiнок Лесi, якщо вiдомо, що оцiнок ”12” та ”11” у Лесi та Андрiйка однакова кiлькiсть?

4. Знайти 3 рiзних прямокутних паралелепiпеди однакового об’єму, у кожного з яких сторони задаються цiлим числом сантиметрiв i усi цi числа є попарно рiзними, при цьому не можна знайти четвертий прямокутний паралелепiпед, який задовольняє цi умови, тобто має однаковий об’єм з трьома попереднiми та має сторони, що задаються цiлим числом сантиметрiв, i цi числа попарно рiзнi та не спiвпадають iз сторонами ранiше знайдених

паралелепiпедiв.

5. Чи можна пiдiбрати 2010 цiлих чисел добуток яких дорiвнює 2, а сума дорiвнює нулю?

6 У книзі рекордів Гіннесса написано, що найбільше відоме просте число дорівнює 23021³⁷⁷–1. Чи не друкарська це помилка?

7. Приходячи до тиру, гравець вносить у касу 100 гривень. Після кожного вдалого пострілу кількість його грошей збільшується на 10%, а після кожного промаху зменшується на 10%. Чи могло після кількох пострілів у нього залишитися 80 гривень 19 копійок?

8. Наталя та Інна купили однакові коробки чаю в пакетиках. Відомо, що одного пакетика вистачає на дві або три чашки чаю. Наталі вистачило пакетіків із коробки лише на 41 чашку чаю, а Інні – лише на 58 чашок чаю. Скільки пакетиків чаю було в коробці?

Олімпіадні задачі

Методи розв`язання олімпіадних задач
та задач підвищеної складності з математики  5-9 кл.

Прикладами таких задач є задачі на складання рівнянь. Наприклад кілька таких завдань:

 • Зошит коштує х к, записна книжка у к, разом вони коштують 2грн.30к.

• Дві записні книжки на 5 грн. дорожчі за 3 зошити. Відомо, що зошит коштує х к,а записна книжка у к.

• Периметр прямокутник дорівнює 30см, а його довжина більша за ширину на 1м. знайдіть довжини сторін прямокутника.

• Треба розкласти 163 кульки у два ящики так, щоб в одному з них кульок стало в 2 рази більше, ніж в іншому. Скільки кульок треба покласти в кожен ящик?

Сю­жетну задачу, для розв'язання якої треба виконати дві чи більше пов'яза­них між собою арифметичних дій, називають складеною. Щоб розв'яза­ти складену задачу, пропоную учням спочатку скласти план розв'язування. План складається на основі аналізу задачі, який проводять від числових даних або від запитання.

Аналізу задачі передує ґрунтовне вивчення умови і запитання задачі.

Наприклад, задача. Велосипедист їхав 4 години із швидкістю 12 км/год. Йому залишилося проїхати на 16 км менше, ніж він проїхав. Яку відстань потрібно було проїхати велосипеди­сту?

Аналіз від числових даних. Відомо, що велосипедист їхав 4 години із швидкістю 12 км/год. За цими дани­ми можна дізнатися, яку відстань проїхав велосипедист. Для цього тре­ба швидкість помножити на час. Зна­ючи відстань, яку вже проїхав вело­сипедист, і те, що залишилося проїха­ти на 16 км менше, можна знайти відстань, яку залишилося проїхати. Для цього відстань, яку вже проїхав велосипедист, треба зменшити на 16 км. Знаючи, скільки кілометрів за­лишилося їхати, можна знайти весь шлях. Для цього треба виконати дода­вання знайдених відстаней.

Аналіз від запитання. У задачі треба знайти весь шлях, який має проїхати велосипедист. Ми не можемо одразу відповісти на це запитання, бо не відомо, скільки велосипедист вже проїхав і скільки йому залишилося їхати. Щоб знайти пройдений шлях, треба знати швидкість і час руху. Це в задачі відомо. Помножимо швид­кість на час і дізнаємося про пройде­ний шлях. Відстань, яку велосипе­дист ще має проїхати, можна також знайти. Для цього знайдену відстань треба зменшити на 16 км.

Отже, план розв'язування задачі такий:

1. Скільки кілометрів проїхав вело­сипедист за 4 години?

2. Скільки кілометрів велосипедисту залишилося проїхати?

3. Яку відстань мав проїхати велоси­педист?

Підвищення ефективності на­вчання математики можна досягти, продуктивно реалізуючи всі дидак­тичні функції математичних задач.

Велику роль відіграють задачі, які учні складають самі. Складання за­дачі часто вимагає роздумів, які під час розв'язку готових задач не по­трібні. Тому складання задач сприяє розвитку творчого мислення учнів.

Не обов’язково розв’язувати запропоновані задачі в тому порядку, в якому вони розміщені. Кожен може починати з тієї, яка, насамперед, зацікавить. Майже всі запропоновані задачі можна змінювати і використовувати їх в залежності від віку учнів.

1. Принцип Діріхле .

Наведемо жартівливе формулювання принципу Діріхле.

ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ. «Якщо по n ящикам розсадити більше n кроликів, то знайдеться ящик, в якому сидить більше одного кролика» або «Якщо в n ящиках більше nk кроликів, то принаймі в одному ящику більше k кроликів».

Принцип Діріхле використовують при розв’язуванні різних задач пов’язаних з проблемою існування. Розв’язання відбувається двома способами: або очевидно подаються в конкретній задачі «кролики» і «ящики», або доведення  йдеться від супротивного.

УЗАГАЛЬНЕНИЙ ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ. «Якщо в n ящиках сидить не менше nk+1 кроликів, то принаймі в одному ящику сидить більше k кроликів».

Задача 1.  У школі 20 класів. В найближчому будинку живуть 23 учні цієї школи. Чи можна стверджувати, що серед них знайдуться хоча б двоє однокласників?

Розв’язання:  оскільки класи утворюють  n = 20 груп, а учнів 23 > n, то принаймі в одній групі буде не менше двох однокласників.

Задача 2. У ящику лежать 105 яблук чотирьох сортів. Довести, що серед них принаймі 27 яблук одного сорту.

Доведення:  сорти яблук утворюють n = 4 групи. Якщо кожного сорту взяти по k = 26 яблук,

то nk = 4×26 = 104 < 105. Очевидно, що одного з сортів буде 27 яблук.

Задача 3. На 5 полках шафи стоять 160 книг. На одній з них – 3 книги. Доведіть, що знайдеться полка, на якій стоїть не менше 40 книг.

Доведення: (від супротивного) Якщо такої полки не має, тоді на 5 полках 3+4×39=159 книг, але це суперечить умові задачі, оскільки маємо 160 книг, тому на одній з полиць 40 книг.

Задачі для розв’язування:

1. В коробці лежать 4 червоних і 2 зелених кульки. Яке найменше число кульок необхідно витягнути, щоб серед них виявилося : а) одна червона кулька; б) одна зелена кулька; в) одна червона і одна зелена кулька; г) дві кульки одного кольору.

2. В коробці лежать 100 різнокольорових кульок: 28 червоних, 20 зелених,12 жовтих, 20 синіх, 10 білих і 10 чорних. Яке найменше число кульок необхідно витягнути, щоб серед них виявилося 15 кульок одного кольору?

3. В одному районі 7 шкіл. На район виділили 20 комп’ютерів. Довести, що при будь-якому розподілі їх між школами  знайдуться дві, які отримають однакову кількість комп’ютерів (можливо, жодного).

4. 34 пасажири їдуть в автобусі, який зупиняється на 9 зупинках, і ніякі нові пасажири на жодній з них не входять. Доведіть, що  на двох зупинках вийде однакова кількість пасажирів.

5. Якій мінімальній кількості школярів можна роздати 200 цукерок, щоб серед них при будь-якому розподілі знайшлися двоє, які отримають однакову кількість цукерок (можливо, жодної).

6. 100 книг розподілили між деякими учнями. При якій мінімальній кількості учнів це можливо зробити таким чином, що всі вони отримають різну кількість книг?

7. Довести, що серед будь-яких 9 натуральних чисел знайдуться два таких числа, які при діленні на 8 дають однакові остачі.

8. Довести, що серед будь-яких n+1 натуральних чисел знайдуться два таких числа, різниця яких ділиться  на n.

9. Чи дійсно, що серед будь-яких семи натуральних чисел знайдуться три, сума яких ділиться на три?

10. Доведіть, що серед будь-яких трьох цілих чисел можна знайти два, сума яких парна.

                                                                                                                                                                      

2. Комбінаторика.

КОМБІНАТОРИКОЮ називають галузь математики, яка вивчає питання пов’язані з визначення кількості різних комбінацій, за даних умов, з заданих об’єктів. Більшість задач розв’язуються за допомогою двох основних правил – правило суми та правило добутку.

ПРАВИЛО СУМИ. Якщо об’єкт А можна вибрати m способами, а об’єкт В – n способами, то об’єкт А або В можна вибрати m+n способами.

ПРАВИЛО ДОБУТКУ. Якщо об’єкт А можна вибрати m способами і після кожного такого вибору  об’єкт В можна вибрати n способами, то пару об’єктів А і В можна вибрати m×n способами.

Задача 1. З міста А до міста Б ведуть дві дороги, з міста А в місто Г – чотири дороги, з Б в В – три дороги, з Г в В – п’ять. а) Скільки різних доріг ведуть з А в В через Б? б) Скільки взагалі різних доріг з А в В?

Розв’язання: а) за правилом добутку 2×3=6. б) Розглянемо два випадки: шлях проходить через Б і через Г. В першому випадку за правилом добутку маємо  2×3=6, в другому - 4×5=20доріг. За правилом суми 20+6=26 доріг.

Задача 2 . Скількома способами можна вибрати чотирьох чергових з 30 учнів класу.

Розв’язання:  першого чергового можна вибрати 30, другого – 29, третього – 28, четвертого – 27 способами. Отже, всього 30×29×28×27=657720 способів.

Задача 3. З трьох підручників алгебри, семи підручників геометрії і п’яти підручників фізики необхідно вибрати комплект з трьох підручників. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання:  За правилом добутку: 3×7×5=105 способів.

Задача 4. В магазині є 6 примірників олімпіадних задач з математики, 3 з фізики і 4 з біології. Крім того, є 5 комбінованих примірників з математики і фізики і 7 – з фізики і біології. Скількома способами можна придбати примірник, який містить задачі з одного предмету.                                                                                                  

Розв’язання:  Можна придбати або примірник з кожного предмету або примірник з двох предметів і примірник з одного. За правилами добутку і суми отримаємо 6×3×4+5×4+7×6=134 способи.

Задачі для розв’язування:

1. Скількома способами можна вибрати одну голосну і одну приголосну зі слова а) «місто»; б) «молоко»; в) «математика»?

2. На вершину гори ведуть п’ять доріг. Скількома способами турист може піднятися на гору і спуститися з неї? А якщо спуск і підйом відбуваються різними шляхами?

3.Скільки серед натуральних чисел від 10 до 1000 таких, що

а)в запису зустрічаються рівно три однакові цифри? б)кожна наступна цифра більша за попередню? в)сума цифр дорівнює 9 ?

4.Скільки існує двозначних чисел, у яких: а)серед цифр є хоча б одна п’ятірка? б)цифра десятків менша за цифру одиниць? в)цифра десятків більша цифри одиниць?

5. З 12 слів чоловічого роду, 9 жіночого, 10 середнього роду необхідно вибрати по одному слову кожного роду. Скількома способами можна це зробити?

6. На канікулах 75% учнів відпочивали на морі, 57%  - відпочивали у горах. Відомо, що кожен був або на морі або у горах. Скільки відсотків учнів були і на морі і у горах?

7. У класі  32 учні. В хореографічному гуртку займаються 28 учнів, хоровим співом – 14, не відвідують жодного гуртка 3 учні. Скільки дітей займаються і в  хореографічному гуртку,  і хоровим співом?

8. Одного разу на канікулах Андрійко не зміг вийти на вулицю, тому що  на вулиці 70% часу йшов дощ. Він вирішив пограти зі своїм молодшим братиком, приблизно 55% часу, а також у кімнаті  працював  телевізор – 80% всього часу. Яку найменшу частину часу це відбувалося одночасно?                                                                                                                                                           9. На клумбі розквітли 18 троянд. Скількома способами можна скласти букет із трьох троянд?

3.Подільність чисел.

Розв’язання  наступних задач ґрунтується на основній теоремі арифметики: кожне натуральне число, крім одиниці, розкладається  добуток простих множників, причому єдиним чином.

Задача 1 .  Чи ділеться 2⁹ ∙ 3 на 6?

Розв’язання:  Так, тому що 6 = 2 ∙ 3, а числа 2 і 3 ходять  розкладання числа 6 на прості множники.

Задача 2 .  Чи дійсно, що якщо натуральне число ділиться на 4 і на 3, то воно ділиться на 12?

Розв’язання:  Так. В розкладанні на прості множники числа, що ділиться на 4, двійка входить двічі

Задача 3 .  Чи дійсно, що якщо натуральне число ділиться на 4 і на 6, то воно ділиться на 24?

Розв’язання: Ні. Наприклад, число 12. Якщо число ділиться на 4, то в його розклад двійка входить двічі; з подільності на 6 – в його розкладі числа 2 і 3. Таким чином, однозначно можна стверджувати, що в розкладі даного числа є дві двійки і трійка, тобто число ділиться на 12.

Задача 4 .  Число А – парне. Чи ділиться число 3А на 6?

Розв’язання:  Так. Оскільки число А парне, в його розклад входить число 2. Тому до розкладу числа 3А входять числа 2 і 3.

Задача 5 .  Число 15А ділиться на 6. Чи ділиться число А на 6?

Розв’язання:  Ні. Наприклад А=2. Трійка, яка входить до розкладу числа 6, входить і до розкладу числа 15. Тому можна стверджувати лише, що до розкладу числа А входить число 2.

Задачі для розв’язування:

1. Довести, що добуток трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 6.

2. Довести, що добуток п’яти  послідовних натуральних чисел ділиться: а) на 30; б) на 120.

3. Позначимо через ab число з цифрами  a і b. Довести, що число ab+ba ділиться на 11.

4. Миколка і Сашко купили однакові м’ячі. Скільки коштує один м’яч, якщо Миколка сплатив три- гривневими купюрами, а Сашко – п’яти-гривневими купюрами, а всього вони віддали в касу менше 10 купюр?

5. Знайти чотири таких натуральних числа, що добуток будь-яких трьох з них  доданий до одиниці, ділився на четверте.

6. Знайти чотири різних цілих числа таких, що сума будь-яких трьох з них ділиться на четверте.

7. Довести, що число ababab ділиться на 7, 13, 37.

8. Щоб дізнатися, чи є число 1601 простим, його стали послідовно ділити на 2, 3, 5 і т.д. На якому простому числі можна зупинити випробування?

9. а) a+1 ділиться на 3. Довести, що число 4+7a ділиться на 3.

б) 2+a і 35-b ділиться на 11. Довести, що a+b ділиться на 11.

4. Стратегії. Ігри двох осіб.

Математичні ігри відрізняються від звичайних тим, що в них завчасно можна визначити результат гри. В подібних задачах зазвичай одне і те саме запитання : хто і я к переможе,при найкращий стратегії обох сторін. Для доведення перемоги або нічиїй використовуються наступні ідеї:

Відповідність. Наявність вдалого відповідного ходу (може забезпечуватися симетрією,розбиттям на пари, доповненням числа).

Розв’язання з кінця. Послідовно визначаються позиції перемоги та поразки для починаючого. Наступна позиція є переможною, якщо з неї можна отримати завчасно визначену позицію поразки і є поразкою, якщо будь-який хід з неї веде до завчасно визначеної позиції перемоги.

Передача ходу. Якщо ми можемо скористуватися стратегією супротивника, то наші справи не гірші ,ніж у нього. Наприклад, перемога (або нічия) забезпечується, коли можна за своїм бажанням потрапити в деяку позицію, або примусити супротивника потрапити до неї.

В деяких задачах стратегію гри не вказують, оскільки результат гри не залежить від гри супротивників.

Задача 1 .  Двоє грають в наступну гру. Є 3 купки камінців: в першій – 10,в другій – 15, в третій -20. За хід дозволяється розбити будь-яку купку на 2 менші.  Програє той, хто не зможе зробити хід.

Розв’язання:  Після кожного ходу кількість купок збільшується на одну. Спочатку їх було 3, в кінці – 45. Таким чином, всього буде зроблено 42 хода. Останній, 42-й, хід  зробить 2-ий   гравець.

Задача 2 .  На дошці написані 10 одиниць і 10 двійок. За хід можна витерти дві будь-які цифри і, якщо вони були однакові, написати 2, якщо різні – 1. Якщо остання цифра що залишилася на дошці – 1 , то перемагає перший гравець, якщо - 2, то другий.

Розв’язання:  Парність числа одиниць на дошці після кожного ходу не змінюється. Оскільки спочатку одиниць була парна кількість, то після останнього ходу не може залишатися одна (не парна кількість) одиниця. Виграє другий гравець.

Задача 3 . Двоє гравців по черзі розставляють між числами від 1 до 20, записаних в рядок,  «+» і «-»  . Після того як всі місця заповнені обчислюють результат. Якщо отримають парне число , то виграє перший гравець, якщо не парне , то другий.

 Розв’язання: Парність результату не залежить від розташування знаків, а від кількості непарних чисел в початковому наборі. Оскільки в даному випадку їх 10 (тобто парне число), то перемагає перший гравець.

Задача 4 . Миколка і Сашко виписують дванадцятицифрове число , ставлячи цифри по черзі, починаючи зі старшого розряду. Довести що, які б цифри не писав Миколка, Сашко завжди зможе домогтися, щоб отримане число ділилося на 4.

Розв’язання: Якщо Миколка на 11-му ходу ставить парне число, то Сашко ставить 4, а якщо Миколка пише не парне число, то Сашко ставить 2.

Задача 5 . В одному ящику лежать 15 синіх кульок, а в другому 12 білих. За один хід дозволяється взяти 3 синіх кульки або 2 білі. Перемагає той, хто бере останні кульки.

Розв’язання:  Зрозуміло, що сині кульки можна рахувати трійками, а білі двійками. Задача зведена до наступної : У ящику лежать 15 : 3  + 12 : 2 = 11 кубиків. За один хід дозволено брати один кубик. Хто візьме останній?  Розв’язання очевидне – це гра, в якій нічого не залежить від гравців.
4. Двоє по черзі ставлять коней в клітинках шахівниці так, щоб вони не били один одного. Програє той хто не може зробити хід.
8. Двоє, А і В грають в гру : по черзі називають цілі додатні числа, при чому гравець А називає число не більше 10, гравець В називає число, більше за назване число гравцем А, але не більше ніж на 10 і т.д. Перемагає той, хто назве число 100.

Задачі для розв’язування

1. Двоє по черзі ламають шоколадку 6x8 . За хід  дозволено зробити прямолінійний розлом будь-якого з кусків. Програє той, хто не зможе зробити хід.

2. а)В рядок написані 10 одиниць. Миколка і Сашко по черзі записують між будь-якими сусідніми числами знак «+» або «-». Коли між всіма сусідніми числами записані знаки, обчислюється результат. Якщо отримане число парне, то перемагає Миколка, якщо непарне , то Сашко.

б) А якщо хлопці ставитимуть між числами «+» або «x»? (при обчислені результату спочатку виконують множення, а потім додавання).

3. Двоє записують шестизначне число починаючи зі старшого розряду. Якщо отримане число ділиться націло на 7 , то виграє той, хто зробив останній хід, інакше починаючий.

5. Дана клітчаста дошка 10x10 . За хід дозволяється закрити 2 сусідні клітинки ( прямокутником 1x2). Програє той, хто не може зробити хід.

6. Маємо 3 купки камінців, кількість камінців в кожній купці однакова. Двоє гравців беруть по черзі будь-яку кількість камінців з будь-якої купки, але тільки з одної. Перемагає той хто бере останні камінці.

7. Маємо 2 купки камінців: в першій – 30 , в другій – 20. За хід можна взяти будь-яку кількість камінців, але тільки з однієї купки. Програє той, хто не зможе взяти камінці.

Література:

1.Логіка 5-11 класи/ Н.В. Василенко.-Х. : Вид. група «Основа», 2011. – 256с. – Серія «Логіка».

2.В царстве смекалки/Под редакцией М.К.Потапова, текстол.обработка Ю.В.Нестеренко.-4-е узд.-М.:Наука.Главная редакція фізико-математической литературы, 1984, 192 с.

3.Сборник олимпиадных задач по математике.- М.: МЦМНО, 2004.-560с.