Олімпіада (завдання)

Олімпіада

6 клас

1.     Поставте  замість зірочок цифри:

                                       59,27

                                    + **,45

                                       78,*3

                                     182,1*                

2.     До числа 15 припишіть ліворуч  і праворуч  по одній цифрі, щоб воно ділилося  на 15.

 3.     Знайдіть усі дроби із знаменником 15, які  більше  8/9 і менше 1.

 4.    У літній табір приїхали відпочивати три товариша: Мишко, Володя і Петро. відомо, що кожний з  має одне з  прізвищ : Іванов, Семенов, Герасимов. Мишко - не Герасимов, батько Володі - інженер. Володя вчиться у 6 класі. Герасимов вчиться у  5 класі.  Батько Іванова -вчитель. Яке прізвище у кожного з  друзів?

5. Для нумерації  сторінок книги знадобилося 1392 цифри. Скільки сторінок у книжці?

6.Розставити мiж деякими з цифр 1111111 знаки «+» «-» таким чином, щоб вийшов вираз з сумою 100.

 7. Знайти 6 різних прямокутників однакової площі, у кожного з яких сторони задаються цілим числом сантиметрів, при цьому не можна знайти сьомий прямокутник, який задовольняє цi умови, тобто вiдмiнний вiд 6 знайдених, має сторони, що задаються цілим числом сантиметрів i площу, однакову iз заданими.

8.  Магічним квадратом четвертого порядку називається квадрат 4×4, який заповнений рiзними числами, при цьому рівними є суми чисел у кожного рядку, стовпчику та великих дiагоналях. Олеся хоче скласти такий квадрат, розмiстивши у ньому числа 1, 2, . . . , 16. Вона почала з того, що помiстила число 1 у лiвий верхнiй кут, а числа 2 i 3 поруч з ним у сусiдньому рядку та стовпчику. Як iй треба далi розмiстити решту чисел, щоб одержати магiчний квадрат?

7 клас

1. Три дробi записани поруч: 5/32;11/32; 15/32 Чи можна перед першим дробом, мiж ними, та вкiнцi третього дробу розставити знаки чотирьох арифметичних дiй «+» «-» «·» «:» а також дужки таким чином, щоб значення одержаного виразу стало бiльшим, нiж 1?

2. Знайдiть 5 послiдовних трицифрових числа, перше з яких дiлиться на 2, друге – на  3, третє – на 4, четверте дiлиться на 5, i п’яте дiлиться на 6.

3. Вiдмiнники Леся та Андрiйко протягом семестру одержали з математики лише оцiнки ”12”, ”11” та ”10”. Разом усiх оцiнок на двох вони одержали 51, причому 4/9 вiд усiх Лесиних оцiнок склали оцiнки ”12”, а 3/8 усiх Андрiйкових оцiнок були оцiнки ”11”. Чому дорiвнює середнє арифметичне усiх оцiнок Лесi, якщо вiдомо, що оцiнок ”12” та ”11” у Лесi та Андрiйка однакова кiлькiсть?

4. Знайти 3 рiзних прямокутних паралелепiпеди однакового об’єму, у кожного з яких сторони задаються цiлим числом сантиметрiв i усi цi числа є попарно рiзними, при цьому не можна знайти четвертий прямокутний паралелепiпед, який задовольняє цi умови, тобто має однаковий об’єм з трьома попереднiми та має сторони, що задаються цiлим числом сантиметрiв, i цi числа попарно рiзнi та не спiвпадають iз сторонами ранiше знайдених

паралелепiпедiв.

5. Чи можна пiдiбрати 2010 цiлих чисел добуток яких дорiвнює 2, а сума дорiвнює нулю?

6 У книзі рекордів Гіннесса написано, що найбільше відоме просте число дорівнює 23021³⁷⁷–1. Чи не друкарська це помилка?

7. Приходячи до тиру, гравець вносить у касу 100 гривень. Після кожного вдалого пострілу кількість його грошей збільшується на 10%, а після кожного промаху зменшується на 10%. Чи могло після кількох пострілів у нього залишитися 80 гривень 19 копійок?

8. Наталя та Інна купили однакові коробки чаю в пакетиках. Відомо, що одного пакетика вистачає на дві або три чашки чаю. Наталі вистачило пакетіків із коробки лише на 41 чашку чаю, а Інні – лише на 58 чашок чаю. Скільки пакетиків чаю було в коробці?

Олімпіадні задачі

Методи розв`язання олімпіадних задач
та задач підвищеної складності з математики  5-9 кл.

Прикладами таких задач є задачі на складання рівнянь. Наприклад кілька таких завдань:

 • Зошит коштує х к, записна книжка у к, разом вони коштують 2грн.30к.

• Дві записні книжки на 5 грн. дорожчі за 3 зошити. Відомо, що зошит коштує х к,а записна книжка у к.

• Периметр прямокутник дорівнює 30см, а його довжина більша за ширину на 1м. знайдіть довжини сторін прямокутника.

• Треба розкласти 163 кульки у два ящики так, щоб в одному з них кульок стало в 2 рази більше, ніж в іншому. Скільки кульок треба покласти в кожен ящик?

Сю­жетну задачу, для розв'язання якої треба виконати дві чи більше пов'яза­них між собою арифметичних дій, називають складеною. Щоб розв'яза­ти складену задачу, пропоную учням спочатку скласти план розв'язування. План складається на основі аналізу задачі, який проводять від числових даних або від запитання.

Аналізу задачі передує ґрунтовне вивчення умови і запитання задачі.

Наприклад, задача. Велосипедист їхав 4 години із швидкістю 12 км/год. Йому залишилося проїхати на 16 км менше, ніж він проїхав. Яку відстань потрібно було проїхати велосипеди­сту?

Аналіз від числових даних. Відомо, що велосипедист їхав 4 години із швидкістю 12 км/год. За цими дани­ми можна дізнатися, яку відстань проїхав велосипедист. Для цього тре­ба швидкість помножити на час. Зна­ючи відстань, яку вже проїхав вело­сипедист, і те, що залишилося проїха­ти на 16 км менше, можна знайти відстань, яку залишилося проїхати. Для цього відстань, яку вже проїхав велосипедист, треба зменшити на 16 км. Знаючи, скільки кілометрів за­лишилося їхати, можна знайти весь шлях. Для цього треба виконати дода­вання знайдених відстаней.

Аналіз від запитання. У задачі треба знайти весь шлях, який має проїхати велосипедист. Ми не можемо одразу відповісти на це запитання, бо не відомо, скільки велосипедист вже проїхав і скільки йому залишилося їхати. Щоб знайти пройдений шлях, треба знати швидкість і час руху. Це в задачі відомо. Помножимо швид­кість на час і дізнаємося про пройде­ний шлях. Відстань, яку велосипе­дист ще має проїхати, можна також знайти. Для цього знайдену відстань треба зменшити на 16 км.

Отже, план розв'язування задачі такий:

1. Скільки кілометрів проїхав вело­сипедист за 4 години?

2. Скільки кілометрів велосипедисту залишилося проїхати?

3. Яку відстань мав проїхати велоси­педист?

Підвищення ефективності на­вчання математики можна досягти, продуктивно реалізуючи всі дидак­тичні функції математичних задач.

Велику роль відіграють задачі, які учні складають самі. Складання за­дачі часто вимагає роздумів, які під час розв'язку готових задач не по­трібні. Тому складання задач сприяє розвитку творчого мислення учнів.

Не обов’язково розв’язувати запропоновані задачі в тому порядку, в якому вони розміщені. Кожен може починати з тієї, яка, насамперед, зацікавить. Майже всі запропоновані задачі можна змінювати і використовувати їх в залежності від віку учнів.

1. Принцип Діріхле .

Наведемо жартівливе формулювання принципу Діріхле.

ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ. «Якщо по n ящикам розсадити більше n кроликів, то знайдеться ящик, в якому сидить більше одного кролика» або «Якщо в n ящиках більше nk кроликів, то принаймі в одному ящику більше k кроликів».

Принцип Діріхле використовують при розв’язуванні різних задач пов’язаних з проблемою існування. Розв’язання відбувається двома способами: або очевидно подаються в конкретній задачі «кролики» і «ящики», або доведення  йдеться від супротивного.

УЗАГАЛЬНЕНИЙ ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ. «Якщо в n ящиках сидить не менше nk+1 кроликів, то принаймі в одному ящику сидить більше k кроликів».

Задача 1.  У школі 20 класів. В найближчому будинку живуть 23 учні цієї школи. Чи можна стверджувати, що серед них знайдуться хоча б двоє однокласників?

Розв’язання:  оскільки класи утворюють  n = 20 груп, а учнів 23 > n, то принаймі в одній групі буде не менше двох однокласників.

Задача 2. У ящику лежать 105 яблук чотирьох сортів. Довести, що серед них принаймі 27 яблук одного сорту.

Доведення:  сорти яблук утворюють n = 4 групи. Якщо кожного сорту взяти по k = 26 яблук,

то nk = 4×26 = 104 < 105. Очевидно, що одного з сортів буде 27 яблук.

Задача 3. На 5 полках шафи стоять 160 книг. На одній з них – 3 книги. Доведіть, що знайдеться полка, на якій стоїть не менше 40 книг.

Доведення: (від супротивного) Якщо такої полки не має, тоді на 5 полках 3+4×39=159 книг, але це суперечить умові задачі, оскільки маємо 160 книг, тому на одній з полиць 40 книг.

Задачі для розв’язування:

1. В коробці лежать 4 червоних і 2 зелених кульки. Яке найменше число кульок необхідно витягнути, щоб серед них виявилося : а) одна червона кулька; б) одна зелена кулька; в) одна червона і одна зелена кулька; г) дві кульки одного кольору.

2. В коробці лежать 100 різнокольорових кульок: 28 червоних, 20 зелених,12 жовтих, 20 синіх, 10 білих і 10 чорних. Яке найменше число кульок необхідно витягнути, щоб серед них виявилося 15 кульок одного кольору?

3. В одному районі 7 шкіл. На район виділили 20 комп’ютерів. Довести, що при будь-якому розподілі їх між школами  знайдуться дві, які отримають однакову кількість комп’ютерів (можливо, жодного).

4. 34 пасажири їдуть в автобусі, який зупиняється на 9 зупинках, і ніякі нові пасажири на жодній з них не входять. Доведіть, що  на двох зупинках вийде однакова кількість пасажирів.

5. Якій мінімальній кількості школярів можна роздати 200 цукерок, щоб серед них при будь-якому розподілі знайшлися двоє, які отримають однакову кількість цукерок (можливо, жодної).

6. 100 книг розподілили між деякими учнями. При якій мінімальній кількості учнів це можливо зробити таким чином, що всі вони отримають різну кількість книг?

7. Довести, що серед будь-яких 9 натуральних чисел знайдуться два таких числа, які при діленні на 8 дають однакові остачі.

8. Довести, що серед будь-яких n+1 натуральних чисел знайдуться два таких числа, різниця яких ділиться  на n.

9. Чи дійсно, що серед будь-яких семи натуральних чисел знайдуться три, сума яких ділиться на три?

10. Доведіть, що серед будь-яких трьох цілих чисел можна знайти два, сума яких парна.

                                                                                                                                                                      

2. Комбінаторика.

КОМБІНАТОРИКОЮ називають галузь математики, яка вивчає питання пов’язані з визначення кількості різних комбінацій, за даних умов, з заданих об’єктів. Більшість задач розв’язуються за допомогою двох основних правил – правило суми та правило добутку.

ПРАВИЛО СУМИ. Якщо об’єкт А можна вибрати m способами, а об’єкт В – n способами, то об’єкт А або В можна вибрати m+n способами.

ПРАВИЛО ДОБУТКУ. Якщо об’єкт А можна вибрати m способами і після кожного такого вибору  об’єкт В можна вибрати n способами, то пару об’єктів А і В можна вибрати m×n способами.

Задача 1. З міста А до міста Б ведуть дві дороги, з міста А в місто Г – чотири дороги, з Б в В – три дороги, з Г в В – п’ять. а) Скільки різних доріг ведуть з А в В через Б? б) Скільки взагалі різних доріг з А в В?

Розв’язання: а) за правилом добутку 2×3=6. б) Розглянемо два випадки: шлях проходить через Б і через Г. В першому випадку за правилом добутку маємо  2×3=6, в другому - 4×5=20доріг. За правилом суми 20+6=26 доріг.

Задача 2 . Скількома способами можна вибрати чотирьох чергових з 30 учнів класу.

Розв’язання:  першого чергового можна вибрати 30, другого – 29, третього – 28, четвертого – 27 способами. Отже, всього 30×29×28×27=657720 способів.

Задача 3. З трьох підручників алгебри, семи підручників геометрії і п’яти підручників фізики необхідно вибрати комплект з трьох підручників. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання:  За правилом добутку: 3×7×5=105 способів.

Задача 4. В магазині є 6 примірників олімпіадних задач з математики, 3 з фізики і 4 з біології. Крім того, є 5 комбінованих примірників з математики і фізики і 7 – з фізики і біології. Скількома способами можна придбати примірник, який містить задачі з одного предмету.                                                                                                  

Розв’язання:  Можна придбати або примірник з кожного предмету або примірник з двох предметів і примірник з одного. За правилами добутку і суми отримаємо 6×3×4+5×4+7×6=134 способи.

Задачі для розв’язування:

1. Скількома способами можна вибрати одну голосну і одну приголосну зі слова а) «місто»; б) «молоко»; в) «математика»?

2. На вершину гори ведуть п’ять доріг. Скількома способами турист може піднятися на гору і спуститися з неї? А якщо спуск і підйом відбуваються різними шляхами?

3.Скільки серед натуральних чисел від 10 до 1000 таких, що

а)в запису зустрічаються рівно три однакові цифри? б)кожна наступна цифра більша за попередню? в)сума цифр дорівнює 9 ?

4.Скільки існує двозначних чисел, у яких: а)серед цифр є хоча б одна п’ятірка? б)цифра десятків менша за цифру одиниць? в)цифра десятків більша цифри одиниць?

5. З 12 слів чоловічого роду, 9 жіночого, 10 середнього роду необхідно вибрати по одному слову кожного роду. Скількома способами можна це зробити?

6. На канікулах 75% учнів відпочивали на морі, 57%  - відпочивали у горах. Відомо, що кожен був або на морі або у горах. Скільки відсотків учнів були і на морі і у горах?

7. У класі  32 учні. В хореографічному гуртку займаються 28 учнів, хоровим співом – 14, не відвідують жодного гуртка 3 учні. Скільки дітей займаються і в  хореографічному гуртку,  і хоровим співом?

8. Одного разу на канікулах Андрійко не зміг вийти на вулицю, тому що  на вулиці 70% часу йшов дощ. Він вирішив пограти зі своїм молодшим братиком, приблизно 55% часу, а також у кімнаті  працював  телевізор – 80% всього часу. Яку найменшу частину часу це відбувалося одночасно?                                                                                                                                                           9. На клумбі розквітли 18 троянд. Скількома способами можна скласти букет із трьох троянд?

3.Подільність чисел.

Розв’язання  наступних задач ґрунтується на основній теоремі арифметики: кожне натуральне число, крім одиниці, розкладається  добуток простих множників, причому єдиним чином.

Задача 1 .  Чи ділеться 2⁹ ∙ 3 на 6?

Розв’язання:  Так, тому що 6 = 2 ∙ 3, а числа 2 і 3 ходять  розкладання числа 6 на прості множники.

Задача 2 .  Чи дійсно, що якщо натуральне число ділиться на 4 і на 3, то воно ділиться на 12?

Розв’язання:  Так. В розкладанні на прості множники числа, що ділиться на 4, двійка входить двічі

Задача 3 .  Чи дійсно, що якщо натуральне число ділиться на 4 і на 6, то воно ділиться на 24?

Розв’язання: Ні. Наприклад, число 12. Якщо число ділиться на 4, то в його розклад двійка входить двічі; з подільності на 6 – в його розкладі числа 2 і 3. Таким чином, однозначно можна стверджувати, що в розкладі даного числа є дві двійки і трійка, тобто число ділиться на 12.

Задача 4 .  Число А – парне. Чи ділиться число 3А на 6?

Розв’язання:  Так. Оскільки число А парне, в його розклад входить число 2. Тому до розкладу числа 3А входять числа 2 і 3.

Задача 5 .  Число 15А ділиться на 6. Чи ділиться число А на 6?

Розв’язання:  Ні. Наприклад А=2. Трійка, яка входить до розкладу числа 6, входить і до розкладу числа 15. Тому можна стверджувати лише, що до розкладу числа А входить число 2.

Задачі для розв’язування:

1. Довести, що добуток трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 6.

2. Довести, що добуток п’яти  послідовних натуральних чисел ділиться: а) на 30; б) на 120.

3. Позначимо через ab число з цифрами  a і b. Довести, що число ab+ba ділиться на 11.

4. Миколка і Сашко купили однакові м’ячі. Скільки коштує один м’яч, якщо Миколка сплатив три- гривневими купюрами, а Сашко – п’яти-гривневими купюрами, а всього вони віддали в касу менше 10 купюр?

5. Знайти чотири таких натуральних числа, що добуток будь-яких трьох з них  доданий до одиниці, ділився на четверте.

6. Знайти чотири різних цілих числа таких, що сума будь-яких трьох з них ділиться на четверте.

7. Довести, що число ababab ділиться на 7, 13, 37.

8. Щоб дізнатися, чи є число 1601 простим, його стали послідовно ділити на 2, 3, 5 і т.д. На якому простому числі можна зупинити випробування?

9. а) a+1 ділиться на 3. Довести, що число 4+7a ділиться на 3.

б) 2+a і 35-b ділиться на 11. Довести, що a+b ділиться на 11.

4. Стратегії. Ігри двох осіб.

Математичні ігри відрізняються від звичайних тим, що в них завчасно можна визначити результат гри. В подібних задачах зазвичай одне і те саме запитання : хто і я к переможе,при найкращий стратегії обох сторін. Для доведення перемоги або нічиїй використовуються наступні ідеї:

Відповідність. Наявність вдалого відповідного ходу (може забезпечуватися симетрією,розбиттям на пари, доповненням числа).

Розв’язання з кінця. Послідовно визначаються позиції перемоги та поразки для починаючого. Наступна позиція є переможною, якщо з неї можна отримати завчасно визначену позицію поразки і є поразкою, якщо будь-який хід з неї веде до завчасно визначеної позиції перемоги.

Передача ходу. Якщо ми можемо скористуватися стратегією супротивника, то наші справи не гірші ,ніж у нього. Наприклад, перемога (або нічия) забезпечується, коли можна за своїм бажанням потрапити в деяку позицію, або примусити супротивника потрапити до неї.

В деяких задачах стратегію гри не вказують, оскільки результат гри не залежить від гри супротивників.

Задача 1 .  Двоє грають в наступну гру. Є 3 купки камінців: в першій – 10,в другій – 15, в третій -20. За хід дозволяється розбити будь-яку купку на 2 менші.  Програє той, хто не зможе зробити хід.

Розв’язання:  Після кожного ходу кількість купок збільшується на одну. Спочатку їх було 3, в кінці – 45. Таким чином, всього буде зроблено 42 хода. Останній, 42-й, хід  зробить 2-ий   гравець.

Задача 2 .  На дошці написані 10 одиниць і 10 двійок. За хід можна витерти дві будь-які цифри і, якщо вони були однакові, написати 2, якщо різні – 1. Якщо остання цифра що залишилася на дошці – 1 , то перемагає перший гравець, якщо - 2, то другий.

Розв’язання:  Парність числа одиниць на дошці після кожного ходу не змінюється. Оскільки спочатку одиниць була парна кількість, то після останнього ходу не може залишатися одна (не парна кількість) одиниця. Виграє другий гравець.

Задача 3 . Двоє гравців по черзі розставляють між числами від 1 до 20, записаних в рядок,  «+» і «-»  . Після того як всі місця заповнені обчислюють результат. Якщо отримають парне число , то виграє перший гравець, якщо не парне , то другий.

 Розв’язання: Парність результату не залежить від розташування знаків, а від кількості непарних чисел в початковому наборі. Оскільки в даному випадку їх 10 (тобто парне число), то перемагає перший гравець.

Задача 4 . Миколка і Сашко виписують дванадцятицифрове число , ставлячи цифри по черзі, починаючи зі старшого розряду. Довести що, які б цифри не писав Миколка, Сашко завжди зможе домогтися, щоб отримане число ділилося на 4.

Розв’язання: Якщо Миколка на 11-му ходу ставить парне число, то Сашко ставить 4, а якщо Миколка пише не парне число, то Сашко ставить 2.

Задача 5 . В одному ящику лежать 15 синіх кульок, а в другому 12 білих. За один хід дозволяється взяти 3 синіх кульки або 2 білі. Перемагає той, хто бере останні кульки.

Розв’язання:  Зрозуміло, що сині кульки можна рахувати трійками, а білі двійками. Задача зведена до наступної : У ящику лежать 15 : 3  + 12 : 2 = 11 кубиків. За один хід дозволено брати один кубик. Хто візьме останній?  Розв’язання очевидне – це гра, в якій нічого не залежить від гравців.
4. Двоє по черзі ставлять коней в клітинках шахівниці так, щоб вони не били один одного. Програє той хто не може зробити хід.
8. Двоє, А і В грають в гру : по черзі називають цілі додатні числа, при чому гравець А називає число не більше 10, гравець В називає число, більше за назване число гравцем А, але не більше ніж на 10 і т.д. Перемагає той, хто назве число 100.

Задачі для розв’язування

1. Двоє по черзі ламають шоколадку 6x8 . За хід  дозволено зробити прямолінійний розлом будь-якого з кусків. Програє той, хто не зможе зробити хід.

2. а)В рядок написані 10 одиниць. Миколка і Сашко по черзі записують між будь-якими сусідніми числами знак «+» або «-». Коли між всіма сусідніми числами записані знаки, обчислюється результат. Якщо отримане число парне, то перемагає Миколка, якщо непарне , то Сашко.

б) А якщо хлопці ставитимуть між числами «+» або «x»? (при обчислені результату спочатку виконують множення, а потім додавання).

3. Двоє записують шестизначне число починаючи зі старшого розряду. Якщо отримане число ділиться націло на 7 , то виграє той, хто зробив останній хід, інакше починаючий.

5. Дана клітчаста дошка 10x10 . За хід дозволяється закрити 2 сусідні клітинки ( прямокутником 1x2). Програє той, хто не може зробити хід.

6. Маємо 3 купки камінців, кількість камінців в кожній купці однакова. Двоє гравців беруть по черзі будь-яку кількість камінців з будь-якої купки, але тільки з одної. Перемагає той хто бере останні камінці.

7. Маємо 2 купки камінців: в першій – 30 , в другій – 20. За хід можна взяти будь-яку кількість камінців, але тільки з однієї купки. Програє той, хто не зможе взяти камінці.

Література:

1.Логіка 5-11 класи/ Н.В. Василенко.-Х. : Вид. група «Основа», 2011. – 256с. – Серія «Логіка».

2.В царстве смекалки/Под редакцией М.К.Потапова, текстол.обработка Ю.В.Нестеренко.-4-е узд.-М.:Наука.Главная редакція фізико-математической литературы, 1984, 192 с.

3.Сборник олимпиадных задач по математике.- М.: МЦМНО, 2004.-560с.

Задачі, які дорослі не можуть роз’язати без рівняння

 1.      У першій діжці було 18 відер води, а в другій – менше. Коли з першої діжки перелили в другу 3 відра води, то в обох діжках води стало порівну. Скільки відер води було в другій діжці спочатку?

2.      Батько й син разом посадили 100 дерев. Батько посадив на 60 дерев більше, ніж син. Скільки дерев посадив син?

3.      1) Для класу купили 30 зошитів, це на 10 менше, ніж альбомів. Скільки купили альбомів?

          2) Перше число 16, воно в 4 рази менше за друге. Знайти суму цих чисел.

4.      У двох акваріумах 18 рибок. В одному з них на дві рибки більше, ніж у другому. Скільки рибок  у кожному акваріумі?

5.      Три білочки знайшли 90 горіхів. Вони поділили горіхи так: найстарша білочка взяла на 10 горіхів менше, а наймолодша на 10 горіхів більше, ніж середня. Скільки горіхів взяла найстарша білочка?

6.      У саду 347 яблунь. Різниця між числом яблунь і груш дорівнює 129. Скільки груш саду?

7.      У двох бригадах 146 чоловік. В першій бригаді на 14 чоловік більше, ніж у другій. Скільки чоловік у кожній бригаді?

8.      Перше число на 7 більше, ніж друге, а сума цих чисел дорівнює 63. Знайти кожне з чисел.

9.      У першому ящику на 18 кг яблук менше, ніж у другому. Разом 92 кг. Скільки яблук в кожному ящику?

10.  На першому полі працювало 13 тракторів, а на другому – 15. Скільки тракторів мають переїхати на друге поле, щоб на другому стало на 10 тракторів більше, ніж залишиться на першому?

11.  На першому полі  посадили на 328 кущів більше, ніж на другому, а всього 936. Скільки кущів посадили на кожному полі?

12.  Цех виробив 960м тканини двох сортів. Тканини першого сорту було в 3 рази більше, ніж тканини другого сорту. Скільки було вироблено тканини першого сорту?

13.  Сума двох чисел дорівнює 485. Перше число у 3 рази більше, ніж друге. Знайти ці числа.

14.  Друга бригада зібрала у 5 разів менше яблук, ніж перша, а всього було зібрано 7230 кг яблук. Скільки кілограм зібрала кожна бригада?

15.  У Марійки і в Андрійка разом 345 марок. Скільки марок у кожного, якщо у Марійки у 14 разів менше марок, ніж у Андрійка.

16.  Іван, Петро та Микола збирали гриби. Іван зібрав у 3 рази, а Петро у 2 рази більше, ніж Микола. Скільки грибів зібрав кожен, якщо всього було 426 грибів.

17.  Перше число у 2 рази менше за друге, а третє – у 4 рази більше, за перше. Сума трьох чисел 154. Знайти третє число.

18.  Брат і сестра отримали разом 90 гривень. Якщо сестра віддасть братові 10 гривень, то у нього буде грошей вдвічі більше, ніж у сестри. Скільки грошей отримала сестра і скільки брат?

19.    З гаража о 10 годині виїхав автобус зі швидкістю 60 км/год. О 13 годині з того ж гаража навздогін йому виїхав другий автобус зі швидкістю 90 км/год. Через скільки годин і на якій відстані від гаража другий автобус наздожене перший?

20.  Мама і дві дочки мають масу 140 кг. Маса мами на 10 кг більше, ніж маса старшої дочки, а разом їхня маса на 80 кг більша, ніж маса меншої дочки. Хто яку має масу?

21.  Малюк з’їдає 600 г варення за 6 хвилин, а Карлсон – удвічі швидше. За який час вони з’їдять варення разом?

22.  Пляшка молока коштує 60 коп. Молоко дорожче від пляшки на 50 коп. Скільки коштує пляшка?

23.  Книжка важить 62 г і ще половину маси книжки. Скільки важить книжка?

24.  За книжку заплатили 10 грн і ще половину її вартості. Скільки коштує книжка?

25.  Хлібина важить півкілограма і ще півхлібини. Скільки важить хлібина?

26.  Мішок цукру важить на 25 кг більше, ніж півмішка.  Скільки важить мішок цукру?

27.  Диня важить півкілограма та ще стільки ж. Скільки важить диня?

28.  Ціна півхлібини на 30 коп більша, ніж чверті. Скільки коштує буханець хліба?

29.  Вінні-Пух  купив собі на день народження 6 банок варення і запросив у гості Паця. Вінні-Пух їсть варення  удвічі швидше за Паця. Через 2 год вони з’їли все варення. Скільки банок варення з’їв за цей час Паця?

30.  Одного разу в Країні Чудес Королева влаштувала прийом на 30 осіб. Їй потрібно було розділити 100 кренделів. Але замість того, щоб поділити кренделі на шматки, вона вирішила роздати декілька кренделів своїм придворним, а решті гостей – по три кренделі. Скільки придворних було у Королеви?

31.  Летіла зграя гусей, а назустріч їй гусак. „ Скільки вас є?” – питає гусак. „Якби нас було ще стільки ж, та ще половина, та ще четвертина, та ще ти, то було б 100.” Скільки летіло гусей?

Задачі професійного спрямування

Швидко змінюється світ і саме життя. В неї входять нові технології. Тільки математика і розв’язування задач в традиційному розумінні не змінює себе.  Математичні закони перевірені і систематизовані, тому людина в важкі моменти може покластися на неї. Математика не підведе.

Задачі на об’єми фігур

Задача1  (для груп професії "Кухар")

Скільки повних порцій супу міститься в каструлі, яка має форму циліндра, висота якого 40 см, а діаметр 0,3 м. Відомо, що одна порція містить 0,25 л супу.

Задача 2.

Діаметр каструлі 44 см, а висота 32 см. Скільки літрів води вона вміщує?

Задача 3.

Скільки меду можна вмістити в посудину, що має циліндричну форму з діаметром основи 22 см і висотою 46 см, якщо густина меду 1350кг/м³

 Задача 4.

Знайти об’єм циліндричної склянки, якщо довжина її кола основи 25,1 см,а висота 8 см. Скільки води вона вміщує?

Задача 5.

Цинкове відро має форму зрізаного конусу з діаметрами основ 31 см і 22 см та твірною 27 см. Скільки матеріалів пішло на його виготовлення, якщо на шви та відходи йде 12%?

Задача 6.

Завантажувальна лійка картоплечистки МОК-16 має форму зрізаного конусу. Обчислити площу її бічної поверхні, якщо радіус більшої основи дорівнює 16 см, радіус меншої основи – 9см, довжина твірної – 10 см.

Задача 7.

Діаметр зовнішнього корпусу харчо варильного котла дорівнює 1 м, а внутрішнього циліндру – 80 см. Висота котла 1м 20 см. Знайти об’єм пароводяної сорочки цього котла.

Задача 8.

Картоплю насипали в купу конічної форми. Довжина кола основи купи 12м, твірна -3м.Скільки тонн картоплі знаходиться в купі? Маса 1м³ картоплі 800 кг.

Задача (для груп професій сільськогосподарського напрямку) 

Задача 1.

Яка врожайність зернових з 1га при розмірах поля 2 3 км та врожайності 200гр. з 1 дм². Порівняйте отриманий результат із загально обласним показником врожайності пшениці за 2010 рік (40 ц з 1 га) і зробіть висновок про ефективність сільськогосподарських робіт на даному полі.

Задача 2

Скільки мішків аміачної селітри можна помістити в склад розмірами 20м х 9м х 4м, якщо мішок селітри можна прийняти (з певною похибкою) за прямокутний паралелепіпед розмірами 90смх 5смх25см? (На щілини між мішками і центральний прохід виділяється 30% об’єму складу).

Задача 3 

Скільки бетонних плит, призначених для будівництва майстерень, можна навантажити на причеп трактора МТЗ – 82, якщо максимально допустиме навантаження складає 4,5 т, розміри плит 90см на 55см на 35см, а густина бетону 2,2 т/м куб.

Задача 4

На вантаженні пшениці зі складу на автомашини працює зернонавантажувач, який подає 5т зерна за 1 год. За скільки годин безперервної роботи буде повантажена вся пшениця, якщо висота складу АА1 = 4м, ширина АВ = 8м, АД = 20м, А1Д1 = 16м, а маса 1 м куб. пшениці складає приблизно 750 кг ?

Задача 5

Будівельна бригада профтехучилища в кількості 5 чоловік за 4 години викопала вручну 30 ям, в які встановлюються опорні стовпи навісу для зберігання мінеральних добрив. Кожна яма (з певною похибкою) має форму правильної зрізаної чотирикутної піраміди глибиною 1,2 м зі сторонами основ 0,5 м і 0,4 м. на скільки відсотків виконано завдання, якщо норма часу на 1 м куб. ґрунту складає 3 години.

Задача 6

По скільки рейсів повинні здійснити два самоскиди МАЗ – 5449 вантажопідйомністю 8 т кожний для перевезення на тваринницьку ферму сінажу з траншеї, яка має форму прямокутного паралелепіпеда розмірами 15м на 4м на 3м, якщо маса 1 м куб. сінажу складає 0,6 т?

Задача 7

Паливний бак автомобіля УАЗ – 451 ДМ з певною похибкою можна прийняти за прямокутний паралелепіпед розмірами 89см на 35см на 18см, (розміри внутрішні). На скільки кілометрів вистачить повної заправки бака, якщо витрати бензину складають 12л на 100км ?

Задачі практичного і професійного спрямування
(для груп сільськогосподарського та автомобільного напрямку).

Задача 1

Бак, що має форму прямокутного паралелепіпеда, доверху заповнено бензином. Довжина бака 3м, ширина 1,5м, висота 1,2м (Розміри внутрішні). Густина бензину 710 кг/м куб. На скільки робочих днів вистачить цього бензину для заправки автомобіля ГАЗ – 53, якщо середні витрати бензину автомобіля за робочий день – 95 кг?

Задача 2

Потрібно підсипати гравій на ділянці сільської дороги довжиною 1 км та шириною 4 м, щоб рівень дороги піднявся на 25 см. По скільки рейсів з гравієм повинен здійснити кожен з п’яти самоскидів КаМАЗ – 5511, якщо кузов самоскида вміщує 7,5 м3 гравію ?

Задача 3, (для груп будівельного та сільськогосподарського напрямку).

Будівельна бригада споруджує з цегли перегородку на складі для зберігання мінеральних добрив. Довжина перегородки 18м, висота 4м, товщина 25см. Розчин збільшує об’єм перегородки на 15%. Скільки цегли потрібно для роботи, якщо розміри цеглини 25см на 12см на 6,5см (при умові, що цегла не б'ється)?

Задача 4, (для груп сільськогосподарського напрямку).

Сінажна траншея являє собою в поперечному перерізі рівнобедрену трапецію з основами 5м і 8м та висотою 3м. Довжина траншеї 15м, сінаж закладено на одному рівні з краями траншеї. На скільки днів вистачить цього сінажу для тваринницької ферми, яка нараховує 80 корів, якщо щодобові витрати сінажу на одну корову складають 35кг, а маса 1м куб. сінажу становить 600кг ?

Задача 5, (для груп будівельного напрямку).

Для підсипки під’їзних шляхів до будівельного майданчика завезено гравій, складений в купу (з певною похибкою) правильної чотирикутної піраміди, сторони основ якої 12м, 4м, а висота 3м. Скільки кубічних метрів гравію привезено на будівельний майданчик?

Задачі на властивості многокутника

Задачі будівельного напрямку  

Задача1

Начальнику управління трьох будівельних об’єктів, що заходяться в одному мікрорайоні, потрібно знайти таке місце для монтування розчинного вузла, щоб воно було на однаковій відстані від усіх трьох будинків. Як це зробити?

Задача2

Як повинна пройти магістраль, щоб відстані до неї від будівельного майданчика, заводу будівельних матеріалів та розчинного вузла були одинакові?

Задача3

Чотири виробничі об’єкти на будівельному майданчику розміщені у вершинах опуклого чотирикутника. У якому місці слід побудувати завод будівельних матеріалів, щоб сума відстаней від нього до всіх виробничих об’єктів була найменшою?

Задача4

На будівництві механічного цеху машинобудівного заводу працюють жителі двох населених пунктів, яких на роботу підвозять організовано. Як знайти на шосе місце для автозаправної зупинки, щоб відстані до неї від двох населених пунктів, які знаходяться по один бік магістралі, були однаковими?

Задачі на знаходження площі фігур

Задачі будівельного напрямку

Задача1

Одне вікно має розміри 1, 3 х 1,1 м. Обчисліть скільки скла піде для скління 250 таких вікон? На обріз скла йде 8% його загальної площі.

Задача2

Скільки дощок довжиною 4,5 м і шириною 0,125 м потрібно для настилання підлоги, довжина якої 4,5 м, а ширина – 3,5 м?

Задача3

В кімнаті довжиною 8 м і шириною 5 м потрібно зробити паркетну підлогу з квадратних дощечок, сторона яких 200 мм. Скільки дощечок піде на підлогу.

Задача4

Підлога майстерні має форму прямокутника. Одна сторона прямокутника на 5 м більше другої, а площа дорівнює 84 м2. Визначити довжини сторін, для того, щоб дізнатися скільки необхідно дерева, щоб прибити плінтус.

Задача 5.

Визначте потрібний за нормою час і розцінку для облицювання газованою плиткою 150х150 мм відкосів віконного пройому, розмірами 4х2, якщо ширина відкосу 30 см.

Задача 6.

Витрати емалевої фарби ПФ-115 на одношарове покриття становить 180 г на 1 кв.м. Чи вистачить 4 кг емалі, щоб пофарбувати стіну завдовжки 6м і заввишки 4м?

Задачі на застосування теореми Піфагора

Задачі будівельного напрямку  

Задача1

Висота даху дорівнює 3 м, а довжина крокви до її кріплення на 1 м більша за половину ширини будинку. Знайти ширину будинку.

Задача2

Висота даху дорівнює 3 м, а довжина крокви до її кріплення у 1,5 рази більша за половину ширини будинку. Знайти ширину будинку.

Задача3

Довжина крокви до її кріплення дорівнює корінь квадратний з 20 метрів, а ширина будинку у 4 рази більша за висоту крокви. Знайти висоту даху і ширину будинку.

Задачі практичного чи професійного змісту на знаходження площі поверхонь многогранників

Задачі будівельного напрямку

Задача1  

Скільки листів шиферу потрібно для покриття даху ангару з технікою, якщо поперечний переріз даху - рівнобедрений трикутник з основою 8м і висотою 3м, а довжина даху (по коньку) 30 м ?

Задача 2

Скільки фарби потрібно на покриття покрівлі чотирисхилого (чотирискатного) даху будинку, довжина якого 12м, ширина – 8м, кут нахилу всіх схилів (скатів) 30 градусів, якщо витрати фарб складають 0,5 кг на 1 м квадратний ?

Задача 3.

Підрахувати розхід матеріалу для покриття чотирьохскатного даху, якщо в його основі прямокутник зі сторонами18м і 12 м, якщо використовується кровельне залізо, кут нахилу 45°.

Задача 4.

Підрахувати розхід матеріалу для покриття чотирьохскатного даху, якщо в його основі прямокутник зі сторонами18м і 12 м, якщо використовується кровельна сталь, кут нахилу 20°.

Задача 5.

Розрахувати розхід масляного колектора, що йде на окраску панелі приміщення, розміри якого 4000х5000х3000, якщо на окраску 1 м² потрібно 0,2 кг(вікна і двері займають 12% площі поверхні).

Задача 6.

Купол будівлі цирку лежить на правильній 12-граній призмі. Стіни цирку подвійні, скляні. Кожна секція зовнішньої стіни має висоту 9м і ширину 7,5 м. Внутрішні і зовнішні стіни розташовані симетрично відносно осі будівлі. Відстань між внутрішньою секцією і паралельною до неї зовнішньої секцією дорівнює 40 м. Визначте, скільки квадратних метрів скла пішло на покриття стін цирку?

Задача 7.

Конусоподібний намет висотою 3,5м і діаметром основи 4м покрито тканиною. Скільки тканини пішло на намет?

Задача 8.

Напівциліндричне склепіння підвалу має 6 м довжини та 5,8 м у діаметрі. Знайдіть площу повної поверхні підвалу.

Задача сільськогосподарського напрямку

Задача   

Навіс над стогом сіна має форму піраміди, висота якого дорівнює 0,9м, а основа являє собою квадрат із стороною 2,5м. Визначити площу покрівлі.

Задачі з теми "Перпендикуляр та похила".

Задачі для груп сільськогосподарського напрямку

Задача1  

Які параметри трактора достатньо знати для визначення гранично допустимого кута підйому, як знайти цей кут ?

Задача2  

Які параметри трактора достатньо знати для визначення гранично допустимого кута поперечного крену, як знайти цей кут ?

Задачі для груп будівельного та автотранспортного напрямків.

Задача3  

Обчислити, скільки цеглин та розчину потрібно завезти до майстерні, щоб побудувати перегородку товщиною в один цегла, довжиною 4м, висотою 2,6м. Відомо, що розміри цеглини 25см на 12см на 6,5см, а на 1м кубічний кладки потрібно – 0,23м кубічних розчину.

Задача4

Скільки шлакоблоків розміром 0,5м на 0,3м на 0,3м можна погрузити на бортову машину ЯАЗ – 210 вантажопідйомністю 12т ? (густина = 1,6*10 у 3 степені кг/м кубічний)

Задача5 (для груп будівельного напрямку).

Кімната має форму прямокутного паралелепіпеда з розмірами 5,2м на 6,3м на 2,7м. В кімнаті є двоє вікон розмірами 1,2м 1,8м. Обчислити скільки квадратних метрів необхідно обштукатурити, коли штукатурять тільки стіни ?

Задачі з теми "Тіла обертання. Конус".

Задачі для груп будівельного напрямку.

Задача 1

Розчин висипали у вигляді конічної кучі, твірна якої 6,3м, довжина кола С = 17,6м, чи вистачить його для кладки 190м куб. стінки, якщо для кладки 1м куб. стінки потрібно 0,23м куб. розчину ?

Задача2

Суміш гравію з піском у вигляді конічної кучі , твірна якої 2,1м довжина кола основи конуса С = 6,28м. Якою повинна бути вантажопідйомність вантажної машини, щоб перевезти цю суміш, якщо 1 м куб. суміші має 1600 – 1900 кг ?

Задача 3.

Муляру потрібно покрити поверхню загальною площею 200 кв. м. Внутрішній діаметр резервуару фарбопульту ручної дії приблизно дорівнює 178 мм, висота 715 мм. Відомо, що при дворазовому покритті витрачається 480 г на 1 кв.м. Розрахуйте скільки разів і якою кількістю водяної фарби прийдеться наповнити робочому резервуар, щоб не залишилось залишків.

Задача 4.

Робітник штукатурить вручну колону покращеною штукатуркою. Який час йому потрібний, щоб оштукатурити колону висотою 6 м і, діаметром 1 м, якщо норма часу 0,79 години на 1 кв.м?

Задача 5.

Робітник штукатурить вручну колону покращеною штукатуркою висотою 5,5  м і, радіус колони  0,5 м. Скільки він заробить, якщо норма розцінки 15,5 грн. (ціна умовна) на 1 кв.м?

Задача 6.

Робітник штукатурить вручну колону покращеною штукатуркою за 4 години. Яку площу поверхні він заштукатурить за 1 годину, якщо висота колони 7м, діаметр основи 0,8м ?

Задачі для груп харчового напрямку

Задача 1

Тістомішалка має форму зрізаного конуса, у якого радіуси основ 4см і 22см, а борошносіялка - циліндричної форми. Вони мають одну і ту саму висоту та об’єм. Чому дорівнює радіус основи борошносіялки ?

Задача 2

Ящик для овочів має форму прямого паралелепіпеда, сторони основ 2√2см і 5см утворюють кут 45°. Менша діагональ ящика дорівнює 7см. Знайдіть його об’єм.

Задача 3

Висота весільного торта 8 дм, радіус основи 5 дм. Торт розрізали так, що у перерізі утворився квадрат. Знайдіть відстань від цього перерізу до осі.

Задача 4

Чан, що має форму півсфери з внутрішнім радіусом R, наповнений томатним соусом. Визначити, який об’єм рідини виллється з чану, коли нахилити його на кут альфа .

Задача 5

Яблучний сік, налитий в конічний чан висотою 0,18м і діаметром основи 0,24м переливається в циліндричний чан діаметр основи якого 0,1м. Як високо знаходиться рівень яблучного соку в чані?

Задача 6

Просіювач борошна – бурат має призматичне сито, площа його основи дорівнює 20 м кв., площа повної поверхні 730 м кв. Під час роботи воно пошкодилось. Вирахувати площу пошкодженої частини сита за умови, що призма правильна шестикутна, та коли воно виходить з ладу, то пошкоджується лише одна грань.

Задача 7

Просіювач борошна – бурат має циліндричне сито, діаметр площі його основи дорівнює 4м, площа повної поверхні 37,68м кв. Під час роботи сито пошкодилось. Вирахувати площу пошкодженої частини сита (це буде площа бічної поверхні циліндра).

Задача 8

Визначити об’єм пекарної камери (ПХС – 25), якщо її розміри 1,9×0,2×10(м).

Задача 9

Пекарна камера (ПХС – 25) має форму прямокутного паралелепіпеда. Чому дорівнює її повна поверхня, якщо три її грані мають площі 1м кв., 2м кв., 3м кв.