Задача Пуассона

Задачу на переливання називають задачею Пуассона, це знаменитий французький математик, механік та фізик. Коли він був ще молодим та вагався у виборі життєвого шляху, приятель показав йому декілька задач, які сам не зміг розв’язати. Пуассон швидко розв’язав всі.  

Задачі на переливання допомагають розвивати логічне мислення, просторову уяву, витримку, наполегливість у знаходженні оптимального розв’язку. 

Традиційно в задачах на переливання посудини не мають ділень, тобто переливати можна лише до тих пір, поки посудина, в яку наливаємо, не заповниться до кінця, або доки зовсім не спустіє посудина, з якої переливаємо. Просто так зупинитися на середині або розлити вміст посудини на дві рівні частини теж не вийде.

Зразки
Задача 1 .  Як за допомогою 3-літрового і 5-літрового відер набрати 1 літер води? У нашому розпорядженні  є водопровідний кран і раковина, куди можна виливати воду.

Розв’язання:  Розв’язання цієї задачі можна записати у вигляді таблиці. Спочатку обидва відра порожні. Наповнюємо 3-літрове відро і виливаємо воду з нього у 5-літрове. Знову наповнюємо 3-літрове відро і виливаємо її у 5-літрове, поки воно не наповниться. У 3-літровому відрі залишиться 1 літр води.

3 літри	0	3	0	3	1
5 літрів	0	0	3	3	5

Задача 2 .  Маємо дві ємності 5 і 7 л. Як за допомогою ємностей відміряти 6 л води з крана?

Розв’язання:  Складемо таблицю розв’язання :

7 л	7	2	2	0	7	4	4	0	7	6
5 л	0	5	0	2	2	5	0	4	4	5

Задача 3 . Маємо три ємності: 9 л, 5 л, 3 л. Перша наповнена водою,а інші дві порожні. Як за допомогою цих ємностей відміряти 1 л води? Як відміряти 4 л води?

Розв’язання:  

3 л	0	3	3	4
5 л	0	0	5	5
9 л	9	6	1	0

Задача 4 . Поряд з лабораторією протікає бурхлива річка. Як за допомогою двох посудин об'ємом 3 і 5 літрів відміряти рівно 4 літри річкової води?

Розв’язання:

4 літра  можуть поміститися лише в 5-літрову судину. Вони можуть бути отримані після доливання 1 літра до 3, 2 літрів до 2, 3 літрів до 1, або шляхом відливання від 5 літрів 1 літра. Щоб можна було відлити рівно 1 літр, потрібно, щоб в судині призначення було вільне місце рівно для 1 літра, тобто щоб в 3-літровій судині перед цим було 2 літри. Різницю об'ємів судин легко отримати: 2 літра виходять, якщо набрати повну 5-літрову судину і відлити з неї в порожню 3-літрову судину. Після цього їх треба перелити в 3-літрову судину, заздалегідь випорожнивши її назад в річку.

Крок	1	2	3	4	5	6	7
3л	0	0	3	0	2	2	3
5л	0	5	2	2	0	5	4
річка			+3

Задача 5 . Дядько Федір зібрався їхати до батьків в гості і попросив у кота Матроскина 4 л простоквашинського молока. А в Матроскина лише 2 порожніх бідона: трилітровий і п'ятилітровий. І восьмилітрове відро, наповнене молоком. Як Матроскину відлити 4 літри молока за допомогою наявних судин?

Розв’язання: Переливаємо з восьмилітрового відра 5 літрів молока в п'ятилітрове. Переливаємо з п'ятилітрового бідона 3 літри в трилітровий бідон.  Переливаємо їх тепер у восьмилітрове відро. Отже, тепер трилітрове відро порожнє, у восьмилітровому 6 літрів молока, а в п'ятилітровому - 2 літри молока.  Переливаємо 2 літри молока з п'ятилітрового бідона в трилітровий, а потім наливаємо 5 літрів з восьмилітрового відра в п'ятилітровий бідон. Тепер у восьмилітровому 1 літр молока, в п'ятилітровому - 5, а в трилітровому - 2 літри молока.  Доливаємо трилітровий бідон з п'ятилітрового і переливаємо ці 3 літри у восьмилітрове відро. У восьмилітровому відрі стали 4 літри, так само, як і в п'ятилітровому бідоні.

Крок	1	2	3	4	5	6	7	8
8 л	8	3	3	6	6	1	1	4
3 л	0	0	3	0	2	2	3	0
5 л	0	5	2	2	0	5	4	4

Задачі

№1   Відміряйте рівно 4 літри, якщо у вас є 3-літрова банка, 5-літрова банка і необмежений доступ до води. 

№2  Є 8-літрова судина, заповнена водою, і дві порожні судини – об'ємом 5 і 3 літри.  Як розділити воду на дві рівні частини (4 і 4 літри), використовуючи найменшу кількість переливань? 

№3   Є 7-літрова судина, заповнена водою, і два порожніх – об'ємом 4 і 3 літри. Поділите воду на 2, 2 і 3 літри, використовуючи мінімальну кількість переливань. 

№4  Дано 3 судини: судина А (8-літровий з 5-у літрами води); судина В (5-літровий з 3-ма літрами води); і судина С (3-літровий з 2-ма літрами води).  Відміряйте 1 літр, переливши воду лише двічі.

№5  У трьох бочках знаходиться 22 л, 14 л та 12 л фарби. Потрібно шляхом трьох переливань зрівняти кількість фарби в кожній бочці за умови: з будь-якої бочки дозволяється перелити в іншу стільки фарби, стільки її в цій другій бочці вже є.

№6 Маємо дві посудини. Одна з них містить 9 л, інша – 4 л. Як за допомогою цих посудин набрати з бака 6 л рідини ? 

№7  Як за допомогою двох посудин місткістю 5 л і 9 л набрати з водоховища 3 л води ?
№8  Є 7-літрова судина, заповнена водою, і два порожніх – об'ємом 4 і 3 літри. Поділите воду на 2, 2 і 3 літри, використовуючи мінімальну кількість переливань. 

№9 Дано 3 судини: судина А (8-літрова з 5-и літрами води); судина В (5-літрова з 3-ма літрами води); і судина С (3-літрова з 2-ма літрами води).  Відміряйте 1 літр, переливши воду лише двічі.

№10 Є посудини місткістю 12 л, 9 л і 5 л. Перша з них наповнена рідиною, а інші дві – порожні. Скільки літрів можна вілити з першої посудини, користуючись другою чи третьою ?

№11 Відміряйте 2 літри води, використовуючи:

1) 4 і 5-літрові судини;

2) 4 і 3-літрові судини. 

№12 Три посудини заповнили водою ( не доверху ). В одній посудині 11 л, у другій – 7 л, у третій – 6 л. У кожну посудину можна долити з другої стільки води, скільки в ній вже було. Як поділити воду в усіх трьох посудинах порівну ?

№13 Чи можна, маючи лише дві посудини місткістю 3 л та 5 л, набрати з крана лише 4 л води ?

Задачі на пересипання

1. Є два пісочні годинники: на 7 хвилин і на 11 хвилин. Яйце повинно варитися 15 хвилин. Як зварити яйце, перевертаючи годинники мінімальну кількість разів?

2. Маємо два пісочні годинники. Один відміряє 4 хвилини, другий 7 хвилин. Потрібно відміряти 9 хвилин, причому без підготовки. Як це зробити?
3. Необхідно відміряти: а) 5 хвилин; б) 7 хвилин; в) 10 хвилин. У нашому розпорядженні є пісочні годинники на 3 хвилини і 8 хвилин. Як це зробити?