Олімпіадні задачі

Методи розв`язання олімпіадних задач
та задач підвищеної складності з математики  5-9 кл.

Прикладами таких задач є задачі на складання рівнянь. Наприклад кілька таких завдань:

 • Зошит коштує х к, записна книжка у к, разом вони коштують 2грн.30к.

• Дві записні книжки на 5 грн. дорожчі за 3 зошити. Відомо, що зошит коштує х к,а записна книжка у к.

• Периметр прямокутник дорівнює 30см, а його довжина більша за ширину на 1м. знайдіть довжини сторін прямокутника.

• Треба розкласти 163 кульки у два ящики так, щоб в одному з них кульок стало в 2 рази більше, ніж в іншому. Скільки кульок треба покласти в кожен ящик?

Сю­жетну задачу, для розв'язання якої треба виконати дві чи більше пов'яза­них між собою арифметичних дій, називають складеною. Щоб розв'яза­ти складену задачу, пропоную учням спочатку скласти план розв'язування. План складається на основі аналізу задачі, який проводять від числових даних або від запитання.

Аналізу задачі передує ґрунтовне вивчення умови і запитання задачі.

Наприклад, задача. Велосипедист їхав 4 години із швидкістю 12 км/год. Йому залишилося проїхати на 16 км менше, ніж він проїхав. Яку відстань потрібно було проїхати велосипеди­сту?

Аналіз від числових даних. Відомо, що велосипедист їхав 4 години із швидкістю 12 км/год. За цими дани­ми можна дізнатися, яку відстань проїхав велосипедист. Для цього тре­ба швидкість помножити на час. Зна­ючи відстань, яку вже проїхав вело­сипедист, і те, що залишилося проїха­ти на 16 км менше, можна знайти відстань, яку залишилося проїхати. Для цього відстань, яку вже проїхав велосипедист, треба зменшити на 16 км. Знаючи, скільки кілометрів за­лишилося їхати, можна знайти весь шлях. Для цього треба виконати дода­вання знайдених відстаней.

Аналіз від запитання. У задачі треба знайти весь шлях, який має проїхати велосипедист. Ми не можемо одразу відповісти на це запитання, бо не відомо, скільки велосипедист вже проїхав і скільки йому залишилося їхати. Щоб знайти пройдений шлях, треба знати швидкість і час руху. Це в задачі відомо. Помножимо швид­кість на час і дізнаємося про пройде­ний шлях. Відстань, яку велосипе­дист ще має проїхати, можна також знайти. Для цього знайдену відстань треба зменшити на 16 км.

Отже, план розв'язування задачі такий:

1. Скільки кілометрів проїхав вело­сипедист за 4 години?

2. Скільки кілометрів велосипедисту залишилося проїхати?

3. Яку відстань мав проїхати велоси­педист?

Підвищення ефективності на­вчання математики можна досягти, продуктивно реалізуючи всі дидак­тичні функції математичних задач.

Велику роль відіграють задачі, які учні складають самі. Складання за­дачі часто вимагає роздумів, які під час розв'язку готових задач не по­трібні. Тому складання задач сприяє розвитку творчого мислення учнів.

Не обов’язково розв’язувати запропоновані задачі в тому порядку, в якому вони розміщені. Кожен може починати з тієї, яка, насамперед, зацікавить. Майже всі запропоновані задачі можна змінювати і використовувати їх в залежності від віку учнів.

1. Принцип Діріхле .

Наведемо жартівливе формулювання принципу Діріхле.

ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ. «Якщо по n ящикам розсадити більше n кроликів, то знайдеться ящик, в якому сидить більше одного кролика» або «Якщо в n ящиках більше nk кроликів, то принаймі в одному ящику більше k кроликів».

Принцип Діріхле використовують при розв’язуванні різних задач пов’язаних з проблемою існування. Розв’язання відбувається двома способами: або очевидно подаються в конкретній задачі «кролики» і «ящики», або доведення  йдеться від супротивного.

УЗАГАЛЬНЕНИЙ ПРИНЦИП ДІРІХЛЕ. «Якщо в n ящиках сидить не менше nk+1 кроликів, то принаймі в одному ящику сидить більше k кроликів».

Задача 1.  У школі 20 класів. В найближчому будинку живуть 23 учні цієї школи. Чи можна стверджувати, що серед них знайдуться хоча б двоє однокласників?

Розв’язання:  оскільки класи утворюють  n = 20 груп, а учнів 23 > n, то принаймі в одній групі буде не менше двох однокласників.

Задача 2. У ящику лежать 105 яблук чотирьох сортів. Довести, що серед них принаймі 27 яблук одного сорту.

Доведення:  сорти яблук утворюють n = 4 групи. Якщо кожного сорту взяти по k = 26 яблук,

то nk = 4×26 = 104 < 105. Очевидно, що одного з сортів буде 27 яблук.

Задача 3. На 5 полках шафи стоять 160 книг. На одній з них – 3 книги. Доведіть, що знайдеться полка, на якій стоїть не менше 40 книг.

Доведення: (від супротивного) Якщо такої полки не має, тоді на 5 полках 3+4×39=159 книг, але це суперечить умові задачі, оскільки маємо 160 книг, тому на одній з полиць 40 книг.

Задачі для розв’язування:

1. В коробці лежать 4 червоних і 2 зелених кульки. Яке найменше число кульок необхідно витягнути, щоб серед них виявилося : а) одна червона кулька; б) одна зелена кулька; в) одна червона і одна зелена кулька; г) дві кульки одного кольору.

2. В коробці лежать 100 різнокольорових кульок: 28 червоних, 20 зелених,12 жовтих, 20 синіх, 10 білих і 10 чорних. Яке найменше число кульок необхідно витягнути, щоб серед них виявилося 15 кульок одного кольору?

3. В одному районі 7 шкіл. На район виділили 20 комп’ютерів. Довести, що при будь-якому розподілі їх між школами  знайдуться дві, які отримають однакову кількість комп’ютерів (можливо, жодного).

4. 34 пасажири їдуть в автобусі, який зупиняється на 9 зупинках, і ніякі нові пасажири на жодній з них не входять. Доведіть, що  на двох зупинках вийде однакова кількість пасажирів.

5. Якій мінімальній кількості школярів можна роздати 200 цукерок, щоб серед них при будь-якому розподілі знайшлися двоє, які отримають однакову кількість цукерок (можливо, жодної).

6. 100 книг розподілили між деякими учнями. При якій мінімальній кількості учнів це можливо зробити таким чином, що всі вони отримають різну кількість книг?

7. Довести, що серед будь-яких 9 натуральних чисел знайдуться два таких числа, які при діленні на 8 дають однакові остачі.

8. Довести, що серед будь-яких n+1 натуральних чисел знайдуться два таких числа, різниця яких ділиться  на n.

9. Чи дійсно, що серед будь-яких семи натуральних чисел знайдуться три, сума яких ділиться на три?

10. Доведіть, що серед будь-яких трьох цілих чисел можна знайти два, сума яких парна.

                                                                                                                                                                      

2. Комбінаторика.

КОМБІНАТОРИКОЮ називають галузь математики, яка вивчає питання пов’язані з визначення кількості різних комбінацій, за даних умов, з заданих об’єктів. Більшість задач розв’язуються за допомогою двох основних правил – правило суми та правило добутку.

ПРАВИЛО СУМИ. Якщо об’єкт А можна вибрати m способами, а об’єкт В – n способами, то об’єкт А або В можна вибрати m+n способами.

ПРАВИЛО ДОБУТКУ. Якщо об’єкт А можна вибрати m способами і після кожного такого вибору  об’єкт В можна вибрати n способами, то пару об’єктів А і В можна вибрати m×n способами.

Задача 1. З міста А до міста Б ведуть дві дороги, з міста А в місто Г – чотири дороги, з Б в В – три дороги, з Г в В – п’ять. а) Скільки різних доріг ведуть з А в В через Б? б) Скільки взагалі різних доріг з А в В?

Розв’язання: а) за правилом добутку 2×3=6. б) Розглянемо два випадки: шлях проходить через Б і через Г. В першому випадку за правилом добутку маємо  2×3=6, в другому - 4×5=20доріг. За правилом суми 20+6=26 доріг.

Задача 2 . Скількома способами можна вибрати чотирьох чергових з 30 учнів класу.

Розв’язання:  першого чергового можна вибрати 30, другого – 29, третього – 28, четвертого – 27 способами. Отже, всього 30×29×28×27=657720 способів.

Задача 3. З трьох підручників алгебри, семи підручників геометрії і п’яти підручників фізики необхідно вибрати комплект з трьох підручників. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання:  За правилом добутку: 3×7×5=105 способів.

Задача 4. В магазині є 6 примірників олімпіадних задач з математики, 3 з фізики і 4 з біології. Крім того, є 5 комбінованих примірників з математики і фізики і 7 – з фізики і біології. Скількома способами можна придбати примірник, який містить задачі з одного предмету.                                                                                                  

Розв’язання:  Можна придбати або примірник з кожного предмету або примірник з двох предметів і примірник з одного. За правилами добутку і суми отримаємо 6×3×4+5×4+7×6=134 способи.

Задачі для розв’язування:

1. Скількома способами можна вибрати одну голосну і одну приголосну зі слова а) «місто»; б) «молоко»; в) «математика»?

2. На вершину гори ведуть п’ять доріг. Скількома способами турист може піднятися на гору і спуститися з неї? А якщо спуск і підйом відбуваються різними шляхами?

3.Скільки серед натуральних чисел від 10 до 1000 таких, що

а)в запису зустрічаються рівно три однакові цифри? б)кожна наступна цифра більша за попередню? в)сума цифр дорівнює 9 ?

4.Скільки існує двозначних чисел, у яких: а)серед цифр є хоча б одна п’ятірка? б)цифра десятків менша за цифру одиниць? в)цифра десятків більша цифри одиниць?

5. З 12 слів чоловічого роду, 9 жіночого, 10 середнього роду необхідно вибрати по одному слову кожного роду. Скількома способами можна це зробити?

6. На канікулах 75% учнів відпочивали на морі, 57%  - відпочивали у горах. Відомо, що кожен був або на морі або у горах. Скільки відсотків учнів були і на морі і у горах?

7. У класі  32 учні. В хореографічному гуртку займаються 28 учнів, хоровим співом – 14, не відвідують жодного гуртка 3 учні. Скільки дітей займаються і в  хореографічному гуртку,  і хоровим співом?

8. Одного разу на канікулах Андрійко не зміг вийти на вулицю, тому що  на вулиці 70% часу йшов дощ. Він вирішив пограти зі своїм молодшим братиком, приблизно 55% часу, а також у кімнаті  працював  телевізор – 80% всього часу. Яку найменшу частину часу це відбувалося одночасно?                                                                                                                                                           9. На клумбі розквітли 18 троянд. Скількома способами можна скласти букет із трьох троянд?

3.Подільність чисел.

Розв’язання  наступних задач ґрунтується на основній теоремі арифметики: кожне натуральне число, крім одиниці, розкладається  добуток простих множників, причому єдиним чином.

Задача 1 .  Чи ділеться 2⁹ ∙ 3 на 6?

Розв’язання:  Так, тому що 6 = 2 ∙ 3, а числа 2 і 3 ходять  розкладання числа 6 на прості множники.

Задача 2 .  Чи дійсно, що якщо натуральне число ділиться на 4 і на 3, то воно ділиться на 12?

Розв’язання:  Так. В розкладанні на прості множники числа, що ділиться на 4, двійка входить двічі

Задача 3 .  Чи дійсно, що якщо натуральне число ділиться на 4 і на 6, то воно ділиться на 24?

Розв’язання: Ні. Наприклад, число 12. Якщо число ділиться на 4, то в його розклад двійка входить двічі; з подільності на 6 – в його розкладі числа 2 і 3. Таким чином, однозначно можна стверджувати, що в розкладі даного числа є дві двійки і трійка, тобто число ділиться на 12.

Задача 4 .  Число А – парне. Чи ділиться число 3А на 6?

Розв’язання:  Так. Оскільки число А парне, в його розклад входить число 2. Тому до розкладу числа 3А входять числа 2 і 3.

Задача 5 .  Число 15А ділиться на 6. Чи ділиться число А на 6?

Розв’язання:  Ні. Наприклад А=2. Трійка, яка входить до розкладу числа 6, входить і до розкладу числа 15. Тому можна стверджувати лише, що до розкладу числа А входить число 2.

Задачі для розв’язування:

1. Довести, що добуток трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 6.

2. Довести, що добуток п’яти  послідовних натуральних чисел ділиться: а) на 30; б) на 120.

3. Позначимо через ab число з цифрами  a і b. Довести, що число ab+ba ділиться на 11.

4. Миколка і Сашко купили однакові м’ячі. Скільки коштує один м’яч, якщо Миколка сплатив три- гривневими купюрами, а Сашко – п’яти-гривневими купюрами, а всього вони віддали в касу менше 10 купюр?

5. Знайти чотири таких натуральних числа, що добуток будь-яких трьох з них  доданий до одиниці, ділився на четверте.

6. Знайти чотири різних цілих числа таких, що сума будь-яких трьох з них ділиться на четверте.

7. Довести, що число ababab ділиться на 7, 13, 37.

8. Щоб дізнатися, чи є число 1601 простим, його стали послідовно ділити на 2, 3, 5 і т.д. На якому простому числі можна зупинити випробування?

9. а) a+1 ділиться на 3. Довести, що число 4+7a ділиться на 3.

б) 2+a і 35-b ділиться на 11. Довести, що a+b ділиться на 11.

4. Стратегії. Ігри двох осіб.

Математичні ігри відрізняються від звичайних тим, що в них завчасно можна визначити результат гри. В подібних задачах зазвичай одне і те саме запитання : хто і я к переможе,при найкращий стратегії обох сторін. Для доведення перемоги або нічиїй використовуються наступні ідеї:

Відповідність. Наявність вдалого відповідного ходу (може забезпечуватися симетрією,розбиттям на пари, доповненням числа).

Розв’язання з кінця. Послідовно визначаються позиції перемоги та поразки для починаючого. Наступна позиція є переможною, якщо з неї можна отримати завчасно визначену позицію поразки і є поразкою, якщо будь-який хід з неї веде до завчасно визначеної позиції перемоги.

Передача ходу. Якщо ми можемо скористуватися стратегією супротивника, то наші справи не гірші ,ніж у нього. Наприклад, перемога (або нічия) забезпечується, коли можна за своїм бажанням потрапити в деяку позицію, або примусити супротивника потрапити до неї.

В деяких задачах стратегію гри не вказують, оскільки результат гри не залежить від гри супротивників.

Задача 1 .  Двоє грають в наступну гру. Є 3 купки камінців: в першій – 10,в другій – 15, в третій -20. За хід дозволяється розбити будь-яку купку на 2 менші.  Програє той, хто не зможе зробити хід.

Розв’язання:  Після кожного ходу кількість купок збільшується на одну. Спочатку їх було 3, в кінці – 45. Таким чином, всього буде зроблено 42 хода. Останній, 42-й, хід  зробить 2-ий   гравець.

Задача 2 .  На дошці написані 10 одиниць і 10 двійок. За хід можна витерти дві будь-які цифри і, якщо вони були однакові, написати 2, якщо різні – 1. Якщо остання цифра що залишилася на дошці – 1 , то перемагає перший гравець, якщо - 2, то другий.

Розв’язання:  Парність числа одиниць на дошці після кожного ходу не змінюється. Оскільки спочатку одиниць була парна кількість, то після останнього ходу не може залишатися одна (не парна кількість) одиниця. Виграє другий гравець.

Задача 3 . Двоє гравців по черзі розставляють між числами від 1 до 20, записаних в рядок,  «+» і «-»  . Після того як всі місця заповнені обчислюють результат. Якщо отримають парне число , то виграє перший гравець, якщо не парне , то другий.

 Розв’язання: Парність результату не залежить від розташування знаків, а від кількості непарних чисел в початковому наборі. Оскільки в даному випадку їх 10 (тобто парне число), то перемагає перший гравець.

Задача 4 . Миколка і Сашко виписують дванадцятицифрове число , ставлячи цифри по черзі, починаючи зі старшого розряду. Довести що, які б цифри не писав Миколка, Сашко завжди зможе домогтися, щоб отримане число ділилося на 4.

Розв’язання: Якщо Миколка на 11-му ходу ставить парне число, то Сашко ставить 4, а якщо Миколка пише не парне число, то Сашко ставить 2.

Задача 5 . В одному ящику лежать 15 синіх кульок, а в другому 12 білих. За один хід дозволяється взяти 3 синіх кульки або 2 білі. Перемагає той, хто бере останні кульки.

Розв’язання:  Зрозуміло, що сині кульки можна рахувати трійками, а білі двійками. Задача зведена до наступної : У ящику лежать 15 : 3  + 12 : 2 = 11 кубиків. За один хід дозволено брати один кубик. Хто візьме останній?  Розв’язання очевидне – це гра, в якій нічого не залежить від гравців.
4. Двоє по черзі ставлять коней в клітинках шахівниці так, щоб вони не били один одного. Програє той хто не може зробити хід.
8. Двоє, А і В грають в гру : по черзі називають цілі додатні числа, при чому гравець А називає число не більше 10, гравець В називає число, більше за назване число гравцем А, але не більше ніж на 10 і т.д. Перемагає той, хто назве число 100.

Задачі для розв’язування

1. Двоє по черзі ламають шоколадку 6x8 . За хід  дозволено зробити прямолінійний розлом будь-якого з кусків. Програє той, хто не зможе зробити хід.

2. а)В рядок написані 10 одиниць. Миколка і Сашко по черзі записують між будь-якими сусідніми числами знак «+» або «-». Коли між всіма сусідніми числами записані знаки, обчислюється результат. Якщо отримане число парне, то перемагає Миколка, якщо непарне , то Сашко.

б) А якщо хлопці ставитимуть між числами «+» або «x»? (при обчислені результату спочатку виконують множення, а потім додавання).

3. Двоє записують шестизначне число починаючи зі старшого розряду. Якщо отримане число ділиться націло на 7 , то виграє той, хто зробив останній хід, інакше починаючий.

5. Дана клітчаста дошка 10x10 . За хід дозволяється закрити 2 сусідні клітинки ( прямокутником 1x2). Програє той, хто не може зробити хід.

6. Маємо 3 купки камінців, кількість камінців в кожній купці однакова. Двоє гравців беруть по черзі будь-яку кількість камінців з будь-якої купки, але тільки з одної. Перемагає той хто бере останні камінці.

7. Маємо 2 купки камінців: в першій – 30 , в другій – 20. За хід можна взяти будь-яку кількість камінців, але тільки з однієї купки. Програє той, хто не зможе взяти камінці.

Література:

1.Логіка 5-11 класи/ Н.В. Василенко.-Х. : Вид. група «Основа», 2011. – 256с. – Серія «Логіка».

2.В царстве смекалки/Под редакцией М.К.Потапова, текстол.обработка Ю.В.Нестеренко.-4-е узд.-М.:Наука.Главная редакція фізико-математической литературы, 1984, 192 с.

3.Сборник олимпиадных задач по математике.- М.: МЦМНО, 2004.-560с.